カイラル表示(カイラルスピノル、ディラック質量)

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参考 ( 概要 )

(0) スピノル変換行列のパウリ表示

(1) カイラリティ(右巻き、左巻き)

(2) カイラル分解

(3) ヘリシティ

(4) m=0 ⇒ 「カイラリティ±1の固有状態」=「ヘリリティ±1の固有状態」

(5) 反粒子は逆のヘリシティをもつ

復習 ( ディラック方程式 )

−|p−m=pμμ−m=0 を相対論的関係式とする。

むろん、pμ=(E、p)である。(※pμ=(E/c、p)に自然単位系を用いた)

相対論的関係式を因数分解すると、pμμ−m=(γνν+m)(γμμ−m)=0 を得る。

ここで、量子化 pμ→i∂μ を行う。

すると、(iγμμ−m)ψ(x)=0 と (iγμμ+m)ψ(x)=0 を得る。

ただし、この2つの式は物理的に等価である。

とくに、(iγμμ−m)ψ(x)=0 を 『 ディラック方程式 』 という。

ディラック方程式が成り立つためには{γμ、γν}=2ημν が成り立てばよい。

これを満たすγは一意ではない。

実際、γとして 『 ディラック表示 』、『 カイラル表示 』、『 マヨラナ表示 』 を採用できる。

また、これらの表示はいずれも(γ=γと(γ=−γ ( j=1、2、3 ) を満たす。

このページではマヨラナ表示を議論する。

定義 ( γ

以下の議論ではγ=iγγγγと定義する。

明らかに、γ=γ である。

明らかに、γはγμ(μ=0、1、2、3)に対して反可換(γγμ=−γμγ)である。

明らかに、(γ=I と (γ=γ が成り立つ。

復習 ( スピノル変換行列 )

ディラック方程式は、



ψはローレンツ変換に対してψ’(x’)=S(∧)ψ(x)のように線形変換されると仮定する。

ここで、ディラック方程式にローレンツ共変性を要請する。

すると、



上式を満たすS(∧)は次のように表される。



ただし、



このようなS(∧)を 『 ∧に伴うスピノルの変換行列 』 という。

S(∧)の存在はディラック方程式がローレンツ共変性をもつことを意味する。

なぜなら、S(∧)の存在は方程式が矛盾なく変換されることを意味するからである。

P1 ( スピノル変換行列のパウリ表示 )

x’μ=∧μνν をローレンツ変換とする。

S(∧)を∧に伴うスピノル変換行列とする。

つまり、次のように表せる。(※復習:スピノル変換行列)



むろん、ωμν=−ωνμ (μ、ν=0、1、2、3)は反対称パラメータである。

つまり、パラメータωμνの独立成分は6である。

そのことに注意して、η=(−ω01、−ω02、−ω03)、θ=(ω23、ω31、ω12)とおく。

このとき、次のように表せる。

証明

いま、



つまり、σμνはブロック対角行列である。

また、ブロック対角行列の巾乗はブロック対角行列である。

よって、S(∧)はブロック対角行列である。

具体的には、

定義 ( カイラル表示 )

ディラック方程式は、



ただし、反交換関係{γμ、γν}=ημν を満たすγは一意ではない。

ここでは次を採用する。



むろん、次のようにまとめて表すこともできる。



これを 『 カイラル表示 』 という。

明らかに、次が成り立つ。

ディラック表示γμとカイラル表示γμは次のように関連付けられる。



これにより、明らかに、カイラル表示は反交換関係{γμ、γν}=ημν を満たす。

カイラル表示は(ディラック表示と同様に)次を満たす。

定義 ( カイラリティ〜その1 )

ψをディラック粒子とする。

つまり、ψはディラック方程式の解であって、4成分波動関数であるとする。

ξをψの上2成分とする。

ζをψの下2成分とする。

つまり、



いま、ξはカイラル表示γ の固有値+1に伴う固有状態である。

また、ζはカイラル表示γ の固有値−1に伴う固有状態である。

実際、定義(カイラル表示)の補足より、





ψを 『 右巻きスピノル 』 という。

ψを 『 左巻きスピノル 』 という。

γの固有値を 『 カイラリティ 』 という。

定義 ( カイラリティ〜その2 )

ψをディラック粒子とする。

γをγ行列とする。( つまり{γμ、γν}=2ημν

いま、次のように表せる。



これを 『 カイラル分解 』 という。

また、γの固有値を 『 カイラリティ 』 という。

また、ψ=Pψを 『 右巻きスピノル 』 という。

また、ψ=Pψを 『 左巻きスピノル 』 という。

定義(カイラリティ〜その2)は定義(〜その1)の一般化である。

カイラル表示の場合、

明らかに、次が成り立つ。(※(γ=I



一般に、このような演算子 P や P を 『 射影オペレータ 』 という。

P2 ( 本義ローレンツ変換に対して右巻と左巻は独立 )

本義ローレンツ変換に対し、ψとψ(つまりξとζ)は独立した粒子である。

補足

証明は2通り用意した。

証明〜その1

既に確認したように、スピノル変換行列は次のように表せる。(※P1:スピノル変換行列のパウリ表示)



よって、ψとψ(つまりξとζ)は混合しない。

つまり、ψとψは独立である。

証明〜その2

いま、γとγμは反可換(γγμ=−γμγ)である。

また、γとσμν=(i/2)[γμ、γν]は可換(γσμν=σμνγ)である。

よって、γとS(∧)は可換である。

よって、P(やP)とS(∧)は可換である。

ここで、ψ’(x’)=S(∧)ψ(x)の左から P ( や P ) を作用させる。

すると、ψ’(x’)=S(∧)ψ(x)とψ’(x’)=S(∧)ψ(x)を得る。

つまり、ψとψは本義ローレンツ変換で混合しない。

P3 ( カイラル分解の性質 )

ψ=Pψ+Pψをカイラル分解とする。

γをディラック表示と同じエルミート性をもつγ行列とする。

つまり、

(*1) {γμ、γν}=2ημν

(*2) (γ=γ

(*3) (γ=−γ ( j=1、2、3 )

このとき、

(1) ψ=Pψはカイラリティ+1に伴う固有状態である。

(2) ψ=Pψはカイラリティ−1に伴う固有状態である。

(3) γμ=Pγμ

(4) γμ=Pγμ

(5) (ψ=(ψ

(6) (ψ=(ψ

補足

(5)は左巻の荷電共役が右巻であることを意味する。

(6)は右巻の荷電共役が左巻であることを意味する。

(1)と(2)の証明

明らかに、(γ=I である。

いま、γ=γψ=γ(1/2)[I+γ]ψ=+Pψ=+ψ である。

また、γ=γψ=γ(1/2)[I−γ]ψ=−Pψ=−ψ である。

(3)と(4)の証明

明らかに、γγμ=−γμγ (μ=0、1、2、3)である。

よって、結論を得る。

(5)と(6)の証明

いま、C(γ=γC である。

また、(γ=(γ である。

また、γγ=−γγ である。

また、ψ=(γψ) である。

よって、次のように計算できる。



参考 ( ディラック質量の存在条件 )

[iγμ(∂μ+iqAμ(x))−mI]ψ(x)=0 をディラック方程式(荷電粒子ver)とする。

上式の左から P または P を作用させてP3(3)または(4)を用いると、

(**1) iγμ(∂μ+iqAμ)ψ−mψ=0

(**2) iγμ(∂μ+iqAμ)ψ−mψ=0

m=0 の場合、ψ と ψ は独立する。

m≠0 の場合、ψ と ψ は混合する。

つまり、粒子ψが質量をもつためには ψ と ψ のカイラリティを同時にもつ固有状態が必要である。

定義 ( ヘリシティ )

次のように定義する。



このとき、h を 『 ヘリシティ 』 という。

粒子スピン S と運動量 p から成る角度をθとする。

いま、h=|S|cosθである。

また、|S|=1/2 である。

よって、h=+1/2 はスピンと運動量が同じ向きであることを意味する。

また、h=−1/2 はスピンと運動量が逆の向きであることを意味する。

P4 ( m=0 ⇒ 「カイラリティ±1の固有状態」=「ヘリリティ±1の固有状態」 )

質量 0 の粒子に対して次が成り立つ。

(1) ξは h=+1/2 の固有状態に対応する。

(2) ζは h=−1/2 の固有状態に対応する。

(3) 「 カイラリティ±1の固有状態 」 と 「 ヘリシティ±1/2の固有状態 」 は一致する。

質量が 0 でない場合も、m<<E ならば(3)が成り立つ。(★0)

(1)と(2)の証明

ディラック方程式は次のように表せる。(※定義(カイラル表示)の補足)



(*)において置き換え i(∂/∂t)→E と −i∇→p を行う。

さらに、σμ と σμ を I とσで表す。(※定義(カイラル表示)の補足)

すると、Eξ=σ・pξ と Eζ=−σ・pζを得る。(★1)

いま、E=|p+m=|p である。

(★1)と(★2)より、hξ=+(1/2)ξ と hζ=−(1/2)ζを得る。

(3)の証明

(1)と(2)より明らかである。(※定義:カイラリティ)

(★0)の証明

(1)と(2)の証明では(*)において m=0 とした。

いまは m≠0 なので、(★1)を書き直す。

すると、ξ=((σ・p)/E)ξ+(m/E)ζである。

よって、ξ=((σ・p)/E)ξである。(※m<<E)

参考

m≠0 の場合、ヘリシティ ±1/2 の状態は混合する。

このことは P4(★0) の証明から分かる。

また、これは直観的に理解しやすい。

m≠0 の場合、粒子の速さは光速より小さい。

よって、粒子より速い慣性系から見ることができる。

その慣性系では粒子は逆の向きの運動量をもつ。

むろん、スピンの向きは変化しない。

よって、ヘリシティの符号が反転する。

m=0 の場合、粒子はつねに光速で運動する。

よって、粒子より速い慣性系から見ることはできない。

よって、ヘリシティは不変である。

復習 ( ディラック方程式のC変換不変性 )

ψ を反粒子とする。

ψ=Cψ=C(γψ) と表せるとする。(★1)

( 定義 ψ=ψγ を 『 ψのディラック共役 』 という )

ディラック方程式(荷電粒子ver)の荷電共役変換不変性を仮定する。(★2)

このとき、



条件(1)を満たす C は次のように表せる。

P5 ( 反粒子は逆のヘリシティをもつ )

ψ→ψ=Cψ を C 変換とする。

つまり、ψは反粒子である。

また、ψ=ψγ である。( これを 『 ψのディラック共役 』 という )

既に示したように (ψ=(ψ と (ψ=(ψ が成り立つ。(※P3)

つまり、C変換は右巻きを左巻きに変換し、左巻きを右巻きに変換する。

つまり、C変換は ψ ( またはψ ) で閉じていない。

つまり、C変換不変性をもたない場合はカイラルスピノル反粒子をC変換で定義できない。

そこで、CP変換によって反粒子を定義する。

すると、

(1) (ψanti:=(ψCR=C(ψ

(2) (ψanti:=(ψCR=C(ψ

ただし、ψCP:=(ψ である。

また、次が成り立つ。

(3) ξanti=−iσξ

(4) ζanti=+iσζ

また、

(5) ξanti はξと逆のヘリシティ h=−1/2 をもつ。

(6) ζanti はζと逆のヘリシティ h=+1/2 をもつ。

(1)と(2)の証明

次のように計算できる。



(3)と(4)の証明

いま、



よって、

(5)と(6)の証明

いま、(σ=σ、(σ=−σ、(σ=σ、σσ=−σσ ( i≠j ) である。

よって、



いま、



また、P4より、



(*3)の複素共役をとり、左からσを掛ける。

すると、(*1)、(*2)、(5)、(6)より、