回転面で極小面となるものは、カテノイド(懸垂面)のみである

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定義 ( 極小曲面 )

平均曲率が 0 となる曲面を 『 極小曲面 』 という。

参考 ( 懸垂線 )

ヒモの両端を水平な位置で固定して吊り下げる。

このとき、ヒモの形状は y=(1/a)coshax で表される。

これを 『 懸垂線 』 という。

図示すると、

P1 ( 「 平均曲率=0 」 となる回転面はカテノイド(懸垂面)である )

Γ(s) を xz 平面上の曲線とする。( s は弧長パラメータであるとする )

Γ(s)=(x(s)、z(s)) とおく。( x(s)>0 であるとする )

φ(u、v)=(x(u)cosv、x(u)sinv、z(u)) とおく。( u は弧長パラメータであるとする )

つまり、φはΓを z 軸まわりに回転させて成る曲面である。

φの平均曲率は 0 であるとする。

このとき、

補足

つまり、カテノイドは極小曲面である。

ちなみに、「 平均曲率=一定 」 となる回転曲面は次のいずれかの形をしている。

(*) 平面、円柱面、球面、懸垂面、アンデュロイド、ノドイド

補足

図示すると、

証明

よく知られているように、弧長パラメータによる曲線の速度ベクトルは1である。

よって、x’(u)+z’(u)=1 である。(★1)

よって、x’x’’+z’z’’=0 である。(★2)

よって、E=1、F=0、G=x である。

n をφの向きとする。

つまり、n=φ×φ/|φ×φ|である。

いま、n(u、v)=(−z’(u)cosv,−z’(u)sinv、x’(u)) である。

よって、L=x’z’’−z’x’’、M=0、N=xz’ である。

(★1)、(★2)より、x’z’’−z’x’’=−x’’/z’ である。

よって、L=−x’’/z’ である。

いま、K=LN/EG=−xx’’/x=−x’’/x である。(★3)

また、H=(EN+GL)/(2EG)=z’/2x−x’’/2z’ である。(★4)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、H=0 である。

よって、(★4)より、x(u)x’’(u)=z’(u)=1−x’(u) である。

よって、(xx’)’=1 である。

よって、xx’=u+A である。

ここで、A=0 としても一般性を失わない。(※ u+A を u に変換すればよい )

一方、2xx’=(x)’ である。

よって、x=u+C である。

よって、x=±√(u+C) である。

+C>0 でなければならないから、(z’)=1−(x’)=C/(u+C) である。

よって、C>0 である。

そこで、C=a とおく。

すると、



ここで、b=0 としても一般性を失わない。(※必要に応じて平行移動すればよい)

いま、u=x−a である。

よって、



これを x について解くと、