懸垂線はcoshで記述される

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定義 ( 双曲線関数 )

次のように定義する。

明らかに、coshx−sinhx=1 が成り立つ。

参考 ( 懸垂線 )

ヒモの両端を水平な位置で固定して吊り下げる。

このとき、ヒモの形状は y=(1/a)coshax で表される。

これを 『 懸垂線 』 という。

図示すると、

固定された両端の座標を x=±b として計算する。

このとき、ヒモの長さ L は、

以下、実際に懸垂線を導く。

参考 ( 懸垂線の導出 )

下図のように座標をとる。



線密度を σ と表す。

座標 x における左側の張力を T と表す。

座標 x における接線と x 軸の交角を θ と表す。

座標 x+dx における右側の張力を T と表す。

座標 x+dx における接線と x 軸の交角を θ+dθ と表す。

x と x+dx の間にある線の長さを ds と表す。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、σgds=Tsin(θ+dθ)−Tsinθ である。(※力のつり合い)

また、Tcos(θ+dθ)=Tcosθ である。(※力のつり合い)

ここで、T=Tcos(θ+dθ)=Tcosθ とおく。

すると、σgds=T(tan(θ+dθ)−tanθ) である。

いま、接線の傾きは、tanθ=dy/dx=y’、tan(θ+dθ)=y’+dy’と表される。

また、



よって、



これは y’ に関する1階線形微分方程式である。

式変形すると、



積分すると、



よって、



一方、



よって、



よって、



積分すると、



境界条件 ( x=0 と x=L で y=0 ) より、



よって、coshC=cosh(kL+C) である。

よって、C=−(kL+C) である。

よって、



よって、

ただし、上式において k は未知である。

その原因は、張力 T が未知であることによる。

k を求めるためには、線の全長 s を与えればよい。

これを確認しよう。

いま、(*2)〜(*5)より、



よって、(*1)より、全長 s は、



上式により、s が分かれば k も分かる。

参考 ( 懸垂面 )

上では懸垂線が cosh で記述されることを示した。

ちなみに、曲面論では 『 懸垂面 』 と呼ばれるものがある。