ケプラーの法則、遠心力ポテンシャル、ラザフォード散乱

サイトのTOP→理系インデックス





参考 ( ケプラーの観測結果 )

ケプラーは天体観測の結果を整理して次の3つの法則を発見した。

第1法則 : 惑星は太陽を1つの焦点とする楕円軌道上を運動する。

第2法則 : 太陽のまわりを回る惑星の面積速度は一定である。

第3法則 : 惑星の公転周期の2乗は、楕円の長軸の3乗に比例する。

これらの法則を 『 ケプラーの法則 』 という。

ニュートンは、ケプラーの観測結果から 『 万有引力の法則 』 を導いた。

ただし、力学の理論がケプラーの法則を要請しているという意味ではない。

むしろ、理論的には、万有引力の法則からケプラーの法則が導かれる。

それどころか、より一般化された結論を導くことができる。

詳しくは後で述べる。

「 ニュートンはリンゴが木から落ちるのを見て万有引力を発見した 」 という話は有名である。

ただし、天体間に引力があることはケプラーの法則から推測できる。

つまり、ニュートンの発見は 『 引力 』 ではない。

本当の発見は 『 天体間の引力 』 と 『 人を地面に付ける重力 』 が同じであると見抜いたことにある。

つまり、ニュートンは 『 万有引力 』 を発見したのである。

ちなみに、実は、惑星の楕円軌道はほとんど円に近い。

言い換えると、惑星の楕円軌道の離心率はほとんど1に近い。

ゆえに、ケプラーの発見は驚異的である。

参考 ( ケプラーの観測結果から万有引力の法則を導く )

既に述べたように、惑星の軌道は楕円である。(※ケプラーの第1法則)

しかし、その形はほとんど円に近い。

そこで、この軌道が円であると仮定する。

円運動の角速度を ω とし、半径を r とする。

よく知られているように、円運動している質点の加速度は rω である。

つまり、円運動している質点は、回転中心に向かって rω で加速している。

よって、運動方程式は mrω=F である。

T を、円運動の周期とする。

k を、ケプラーの第3法則の比例定数とする。

いま、T/r=k ( 一定 ) である。(※ケプラーの第3法則)

一方、T=2π/ω である。

よって、F=(4πm/k)r−2 である。

つまり、力 F は惑星の質量 m に比例している。

よって、太陽に作用する引力は太陽の質量に比例すると考えられる。

また、『 太陽に作用する引力 』 と 『 惑星に作用する引力 』 は等しい。(※作用反作用の法則)

よって、F=GMmr−2 と表せる。

つまり、万有引力の法則が導かれた。

上ではケプラーの法則から万有引力の法則を導いた。

しかし、以下では、ケプラーの法則を忘れて、万有引力の法則を要請しよう。

つまり、以下では 『 ニュートンの第1法則〜第3法則 』 と 『 万有引力の法則 』 のみを要請する。

それ以外は数学的な理論のみを用いる。

これによって、ケプラーの法則を導くことができるし、さらに一般化された結果を導くことができる。

要請1 ( ニュートンの第1法則 )

宇宙には慣性座標系が(少なくとも1つ)存在する。

要請2 ( ニュートンの第2法則 )

慣性系では次が成り立つ。

(1) F=mα(t)

(2) F=d(mv)/dt

要請3 ( ニュートンの第3法則 )

AB を、物体 A が物体 B に及ぼす力とする。

BA を、物体 B が物体 A に及ぼす力とする。

このとき、FAB=−FBA が成り立つ。

これは 『 作用・反作用の法則 』 と呼ばれることが多い。

要請4 ( 万有引力の法則 )

『 質量 m の質点 』 と 『 質量 M の質点 』 の間には、大きさ|F|=GMm/r の引力が作用する。

定義 ( 中心力 )

O を原点とする。

P を質点の位置とする。

F を質点に作用する力とする。

線分 OP と F は平行であるとする。

このとき、F を 『 点 O を中心とする中心力 』 という。

例えば、万有引力は中心力である。

定義 ( 保存力 )

質点が位置 r から r まで移動したとする。

その間、力 F がする仕事は経路に依存しないとする。

このとき、F を 『 保存力 』 という。

定義 ( ポテンシャル )

F を保存力とする。

質点が位置 r から r まで移動したとする。

次のように定義する。



このとき、U(r) を 『 r を基準とした r のポテンシャル 』 という。

つまり、ポテンシャルは保存力に対して自然に付いてくる量である。

P1

中心力は保存力である。

証明

これは既知とする。

詳しく知りたい場合は力学的エネルギー保存則のページを参照。

ただし、この省略によって後の理解に被害が出ることはない。

P3

速度 v ( 加速度 a ) をもつ質点を考える。

このとき、速度と加速度の極座標表示は次のように表される。

(1) (v、vθ)=(r、rθ

(2) (a、aθ)=(r・・−r(θ、2rθ+rθ・・

(1)の証明 ( 厳密ver )

(v、v)を直交座標系での速度とする。

いま、次が成り立つ。

(*1) v=vcosθ+vsinθ

(*2) vθ=−vsinθ+vcosθ



一方、(x、y)=(rcosθ、rsinθ) である。

よって、

(*3) v=x=rcosθ−rθsinθ

(*4) v=y=rsinθ+rθcosθ

よって、(*1)〜(*4)より、v=r、vθ=rθ である。

(1)の証明 ( 直観ver )

直交座標上で質点が速度 v をもつとする。

いま、v は、動径 r の増加率を意味する。

つまり、v=r である。

また、vθ は、動径に垂直な速度成分である。

よって、r を定数と見なして、vθ=(rθ)=rθ+rθ=rθ と計算できる。

(2)の証明

(1)の証明(厳密ver)と全く同じように、

(*1) a=acosθ+asinθ

(*2) aθ=−asinθ+acosθ

また、既に(1)の証明(厳密ver)で書いたように、

(*3) v=x=rcosθ−rθsinθ

(*4) v=y=rsinθ+rθcosθ

よって、

(*5) a=v=r・・cosθ−2rθsinθ−rcosθ・(θ−rsinθ・θ・・

(*6) a=v=r・・sinθ+2rθcosθ−rsinθ・(θ+rcosθ・θ・・

この(*5)と(*6)を、(*1)と(*2)に代入すると、a=r・・−r(θ、aθ=2rθ+rθ・・ である。

参考 ( ベクトル積 )

v=(v、v、v)、w=(w、w、w) をベクトルとする。

次のように定義する。



このとき、v×w を 『 v と w のベクトル積 』 という。

ベクトル積を 『 ベクトルの外積 』 と呼ぶ参考書もある。

よく知られているように、v×w の大きさは、v と w を辺とする平行四辺形の面積に等しい。

また、その向きは、v を w に重ねるときに右ネジが進む方向である。

明らかに、v×v=0 である。

また、(v×w)=v×w+v×w である。(※地道な計算で示せる)

ベクトル積について詳しくない人は、とりあえず上記のことを理解しておけば十分である。

ちなみに、ベクトル積をしっかりと理解するためには 『 余因子展開 』 を理解しておくことが重要である。

余因子展開は、線形代数の行列式に関する基本である。

P4 ( 角運動量保存則 )

L=r×p を質点の角運動量とする。

N=r×F を質点のモーメントとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) dL/dt=N

(2) 質点に作用する力が中心力のみである場合、角運動量は保存する。

(1)の証明

いま、(r×r=r×r+r×r・・=r×r・・ である。

よって、(r×mr=r×F である。

つまり、dL/dt=N である。

(2)の証明

いま、中心力 F と r は平行である。(※定義:中心力)

よって、N=r×F=0 である。

よって、(1)より、L は一定である。

定義 ( 遠心力ポテンシャル、有効ポテンシャル )

質量 M が質量 m に比べて十分大であるとする。

質量 M をもつ質点は動かないとする。

L を、質点 m の角運動量とする。

次のように定義する。



このとき、U を 『 遠心力ポテンシャル 』 という。

また、Ueff(r) を 『 有効ポテンシャル 』 という。

上の定義は唐突であるように思えるかもしれない。

しかし、これらの量は力学において自然に現れる。

以下、このことを確認していこう。

P5 ( 運動エネルギー=「 動径方向の運動エネルギー+遠心力ポテンシャル 」 )

質量 m の質点が中心力のみによって運動しているとする。

K を、質点の運動エネルギーとする。

E を、質点の力学的エネルギーとする。

このとき、



とくに、重力ポテンシャルの基準として無限遠を採用すると、

(1)の証明

いま、|L|=|r×mv|=mrvθ=mrθ である。(※P3)

よって、

(2)の証明

(1)より明らかである。(※定義:ポテンシャル)

P6

遠心力ポテンシャルは無限遠を基準とした遠心力に対するポテンシャルである。

補足

「 万有引力のポテンシャル 」 ではなくて 「 遠心力のポテンシャル 」 と見なせることに注意。

証明

いま、質点が角速度ωで回転しているとする。

S’を、質点とともに回転する座標系とする。

つまり、S’は(原点を中心として)角速度ωで回転する座標系である。

いま、S’において質点には遠心力 f=mrω が作用する。

一方、|L|=mrω である。

よって、f=L/(mr)である。

いま、L は一定である。(※角運動量保存則)

つまり、f は r のみに依存する。

つまり、f は中心力である。

よって、f は保存力である。(※P1)

よって、f に対してポテンシャル U を考えることができる。

ポテンシャル U の基準点として無限遠を採用する。

すると、

P7 ( 有効ポテンシャルは中心力に対する質点の運動領域を決定する )

eff(r) を質点の有効ポテンシャルとする。

E を質点の力学的エネルギーとする。

min を、Ueff(r) の最小値とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) E≧0 ならば、質点は無限遠に達する。

(2) E<0 ならば、質点は無限遠に達することはない。

(3) E=Emin ならば、質点は円軌道を描き、その半径は r=L/(GmM) である。

補足

eff(r) を図示すると、下図のようになる。(※定義:有効ポテンシャル)

補足

ちなみに、E>0 の場合、質点 m は、質点 M を焦点とする双曲線を描く。

また、E<0 の場合、質点 m は楕円軌道を描く。

これについては後で示す。

(1)の証明

明らかである。(※補足の図)

(2)の証明

明らかである。(※補足の図)

ただし、少し詳しく説明しておく。

まず、E=E<0 とする。

そして、E=E と Ueff(r) の交点の r 座標を r、r とする。

すると、質点は r≦r≦r の範囲を動く。

つまり、無限遠に達することはない。



ただし、E を 0 に近づけることによって r をいくらでも大きくすることはできる。

もしかしたら、

「 つまり、それは無限遠に達することを意味するのでは? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、それは違う。

「 有限値がいくらでも大きくなること 」 と 「 無限 」 は別物である。

例えば、いくらでも大きな自然数は存在するが、すべての自然数は有限である。

すべての自然数は有限だが、自然数全体は無限集合である。

(3)の証明

いま、Emin は Ueff(r) の最小値である。

よって、r=r において dUeff/dr=0 である。

一方、dUeff/dr=0 は質点に作用する力を意味する。

よって、dUeff/dr=0=−L/(mr)+GmM/r である。

よって、r=L/(GmM) である。

定義 ( 離心率 )

(x、y)座標を考える。

「 原点 O から点 P までの距離 」 と 「 点 P から x=c までの距離 」 が e:1 であるとする。

このような点 P が描く曲線を 『 2次曲線 』 という。

このとき、原点 O を 『 焦点 』 という。

また、x=c を 『 準線 』 という。

また、e を 『 離心率 』 という。

P8 ( 2次曲線の極座標表示 )

点 P の極座標を (r、θ) とする。

e を離心率とする。

x=c を準線とする。

このとき、2次曲線は次のように記述される。

証明

点 P から準線へ引いた垂線を PH とする。

いま、OP:PH=e:1 である。

また、OP=r、PH=c−rcosθ である。

よって、r=e(c−rcosθ)=l−ercosθ である。

P9 ( 2次曲線の標準形 )

e を離心率とする。

x=c を準線とする。

このとき、2次曲線は、そのグラフを x 方向へ平行移動することで次のように表せる。

補足

つまり、e=1は放物線、e<1は楕円、e<1は双曲線である。

補足

(2)の式から l を消去すると、楕円の離心率は e=√(1−b/a) である。

(3)の式から l を消去すると、双曲線の離心率は e=√(1+b/a) である。

(1)の証明

いま、r=e(c−rcosθ)=(c−rcosθ) である。(※P8)

また、r=x+y、x=rcosθ である。

よって、y=c−2cx=4(−c/2)(x−c/2) である。

ここで、p=−c/2 とおいて x 軸の負方向へ c/2 平行移動させる。

すると、y=4px である。

(2)と(3)の証明

いま、r=e(c−rcosθ) である。(※P8)

また、r=x+y、x=rcosθ である。

よって、(1−e)x+2cex+y=c である。

後は、l=ce とおいて式変形すればよい。

P10 ( 離心率は力学的エネルギーによって定まる )

質点 m が質点 M の万有引力によって運動しているとする。

E を質点 m の力学的エネルギーとする。

ただし、重力ポテンシャルの基準として無限遠を採用する。

このとき、

(1) E=0 ⇒ e=1で放物線

(2) E<0 ⇒ e<1で楕円

(3) E>0 ⇒ e>1で双曲線

また、次が成り立つ。( ただし S は面積速度 )

証明

いま、m(r・・−r(θ)=GMm/r である。(※P3)(★1)

また、m(2rθ+rθ・・)=0 である。(※P3)

つまり、(rθ=0 である。

つまり、rθ=h ( 一定 ) である。( つまり、h=2S )

ここで、r=1/u とおく。

いま、



よって、



一方、r(θ=r(h/r=h である。(★2)

(*2)、(★2)を(★1)に代入すると、



この一般解は、u=Acosθ+Bsinθ+GM/h である。(★3)

いま、L=mh である。

よって、次が成り立つ。(※P5)



よって、(*1)を(*3)に代入して、両辺を mh/2 で割ると、



よって、



ここで、次のようにおく。



いま、



よって、



よって、cos(θ+θ)=cosφ=(e/l)(u−1/l) である。

よって、



これは2次曲線を意味する。(※P8)

+θ は位相のズレであるから、θ=0 としてよい。

( θ は、θ=0 のときに r が極小になることを意味する )

これで結論が得られた。(※P9)

P12 ( ケプラーの法則 )

第1法則 : 惑星は太陽を1つの焦点とする楕円軌道上を運動する。

第2法則 : 太陽のまわりを回る惑星の面積速度は一定である。

第3法則 : 惑星の公転周期の2乗は、楕円の長軸の3乗に比例する。

第1法則の証明

既に示した。(※P11)

第2法則の証明

いま、質点に作用する力は万有引力のみである。

よって、aθ=2rθ+rθ・・=0 である。(※P3)

つまり、(rθ=0 である。

つまり、rθ=h ( 一定 ) である。

よって、L=mrθ=mh は一定である。

よって、面積速度 S=2−1r×v=2−1θ=(2m)−1L は一定である。

第3法則の証明

既に示したように、面積速度 S=(2m)−1L=h/2 は一定である。

また、楕円の面積は πab ( a は長径、b は短径 ) である。

よって、周期は T=πab/S=2πab/h である。

一方、P9(1)、P11の証明より、



よって、

定義 ( 衝突パラメータ、散乱角 )

点 Q を質量 M の質点とする。

いま、質量 m の質点が Q の中心力によって双曲線を描くとする。

この双曲線が標準形 x/a−y/b=1 となるように直交座標をとる。

このとき、Q から双曲線の漸近線へ引いた垂線の長さを 『 衝突パラメータ 』 という。

また、2つの漸近線が成す角を 『 散乱角 』 という。

ただし、散乱角θは下図のようにとる。( 衝突パラメータは p と表している )

P13 ( 衝突パラメータと散乱角の関係 )

質点 m は質点 M の万有引力によって双曲線を描くとする。

質点 m が十分遠方で速度 v をもつとする。

p を衝突パラメータとする。

θ を散乱角とする。

このとき、

証明

αを、双曲線の漸近線と x 軸がなす角とする。

いま、θ=π−2α である。

よって、tan(θ/2)=tan(π/2−α)=1/tanα である。

また、質点 m の力学的エネルギーは E=(1/2)mv である。

また、面積速度は S=pv/2 である。

よって、次のように計算できる。(※P9の補足、P10)



よって、

P14 ( ラザフォード散乱 )

電荷 +Ze の原子核を置く。

質量 m で電荷 +2e をもつα粒子が十分遠方で速度 v をもつとする。

α粒子は電荷の斥力によって双曲線を描くとする。

p を衝突パラメータとする。

θ を散乱角とする。

k をクーロン力の比例定数とする。

このとき、

証明

P13 において GM を −C に書き換えればよい。

ただし、散乱角の向きは逆であることに注意。(※定義:散乱角)