ホモトピと基本群

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参考

このページでは 『 ホモトピ 』 を導入して 『 基本群 』 を構成する。

さらに、トーラス上の基本群が可換であり、 と同型であることを示す。

定義 ( ホモトピ )

Γ、Γ:[0、1]→X を曲線とする。

Γ と Γ は始点と終点を共有しているとする。

つまり、Γ(0)=Γ(0)であり、Γ(1)=Γ(1)である。

ある連続写像φ:[0、1]×[0、1]→X が存在して、次を満たすとする。

(1) φ(t、0)=Γ(t)

(2) φ(t、1)=Γ(t)

このとき、「 Γ と Γ はホモトピ同値である 」 という。

図示すると、

簡単に言えば、Γ と Γ は端点を固定して、連続的な変形によって移り合える。

あるいは、Γ と Γ に囲まれた領域には穴がないことを意味する。

逆に、Γ と Γ の間に穴があるとする。

このとき、Γ を Γ へ連続的に変化させることはできない。

つまり、Γ と Γ はホモトピックではない。

例えば、ある平面図形において、図形上の任意の2つの曲線が互いにホモトピックであるとする。

これは、この図形には穴が空いていないことを意味する。

つまり、「 穴が空いているか否か 」 という性質を、ホモトピックという概念によって定式化したのである。

よく知られているように、位相幾何において、穴が空いているか否かという性質は非常に重要である。

また、ポテンシャル論においても重要である。

ここでは両端を固定した場合について定義した。

実は、始点と終点を共有していない曲線に対して連続変形を考える場合もある。

つまり、端点を固定させない連続変形を考える。

定義 ( 閉曲線 )

始点と終点が一致している曲線を 『 閉曲線 』 という。

定義 ( 弧状連結 )

X を平面上の集合とする。

X 上の任意の2点をつなぐ曲線が存在するとする。

このとき、「 X は弧状連結である 」 という。

定義 ( 基本群〜その1 )

ホモトピ同値な閉曲線を同一視する。( つまり、同じ類に属する閉曲線を同一視する )

例えば、下図の v と w は同じ類に属するので同一視する。



また、穴を囲まない閉曲線 e を単位元として採用する。

実際、e と 任意の閉曲線 x をつなぎ合わせると、



このように、e・x は穴1を囲む閉曲線である。

つまり、e・x=x である。

つまり、e を掛けても演算の結果は変化しない。

つまり、e を単位元として採用できる。

また、任意の閉曲線 x に対し、x・x−1=e である。

実際、



以上により、閉曲線全体は群となっている。

X を、閉曲線全体が動く領域とする。

上記のような群を 『 X の A を基点とする基本群 』 といい、π(X;A) と表す。

定義 ( 基本群〜その2 )

π(X;A) と π(X;B) を基本群とする。

X は弧状連結であるとする。

x と y を、A を基点とする閉曲線とする。

Γ を、B から A への経路とする。

いま、Γ・x・Γ−1 は B を基点とする閉曲線である。

同様に、Γ・x・Γ−1 は A を基点とする閉曲線である。

いま、(Γ・x・Γ−1)・(Γ・y・Γ−1)=Γ・x・y・Γ−1 である。

つまり、π(X;A) と π(X;B) は同じ構造をもつ。

そこで、その基本群を π(X) と表す。

定義 ( トーラス )

ドーナツ型の閉曲面を 『 トーラス 』 という。

トーラスの展開図は、

P1 ( トーラス上の基本群 )

トーラス上の基本群は可換であり、 と同型である。

証明

下図では、トーラスの展開図に3種類のループを描いた。



いま、v は、穴1を囲むループと見なせる。

また、w は、穴2を囲むループと見なせる。

また、v・w・v−1・w−1=e である。

図示すると、



つまり、v・w=w・v である。

つまり、トーラス上の基本群は可換である。

つまり、π(X;A)={ v|m、n∈ } である。

明らかに、これは と同型である。

参考 ( なぜホモトピが必要か? )

上では基本群を構成した。

このように議論すると、何となく、簡単に演算を導入できたような気がしてしまう。

そこで、理論の背景を説明するために、あえてホモトピでない場合について考えてみよう。

すると、演算を導入することの難しさが視えてくる。

x を経路とする。

x の逆の経路を x−1 と表す。

つまり、x(t) とすれば、x−1(t)=x(1−t) である。

x を、A から B へ向かう経路とする。

y を、B から C へ向かう経路とする。

x・y を、x と y をつなぎ合せた経路とする。

x・y の定義域は [0、1] であることに注意しよう。

つまり。x・y=Γ とすると、

(*1) Γ=x(2t) (1≦t≦1/2)

(*2) Γy(2t−1) (1/2≦t≦1)

明らかに、(x・y)−1=y−1・x−1 である。

以上の議論は順調に視えるかもしれない。

しかし、これでは演算を導入できない。

これを確認するため、群の定義を思い出そう。

演算とは、任意の要素に対して定義されるものである。

しかし、上記の 「 経路をつなぐ 」 という操作は、これを満たさない。

実際、x の終点と y の始点が一致していないと、経路をつなぐことはできない。

つまり、任意の曲線に対して演算を定義することができない。(★1)

さらに、単位元が存在しない。(★2)

例えば、e を、1点 A に留まる経路とする。

このとき、e・x は x と異なる関数である。

実際、定義域に注意すると、パラメータに対してつねに同じ値をとるわけではない。

このように、普通に曲線をつなぎ合わせるだけでは、演算を導入できない。

そこで、閉曲線を考える。

まず、始点を共有する任意の閉曲線をつなぎ合わせると、これは再び閉曲線となる。

これで、先ほどの問題(★1)が部分的に解決された。

さらに、始点が異なる閉曲線であっても、2つの始点をつなぐ経路があれば、つなぎ合わせることができる。

こうして、任意の閉曲線をつなぎ合わせることができる。

これで先ほどの問題(★1)が解決した。

いま、ホモトピ同値な曲線を同一視している。

x・e と x は、パラメータで値が異なるのだが、囲む穴は一致している。

よって、この2つは同一視できるので、x・e=x としてよい。

つまり、先の問題(★2)も解決した。