軌道角運動量の交換関係

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参考 ( 3次元極座標変換 )

3次元極座標変換は、



このとき、



また、

補足

図示すると、

P1 ( 球面調和関数、動径波動関数 )

3次元方程式は、



これを極座標で表すと、次のようになる。(※参考:3次元極座標変換)



ただし、



ここで、極座標表示のシュレディンガー方程式の解を ψ(r、θ、φ)=R(r)Y(θ、φ) とおく。

このとき、





とくに、(1)の解は、



また、(2)の解は、



ただし、







とくに、(*1)を 『 ラゲール多項式 』 という。

また、(*2)を 『 ルジャンドル陪関数 』 という。

また、(*3)を 『 ロドリグの公式 』 という。

補足

nl(r)を 『 動径波動関数 』 という。

を 『 球面調和関数 』 という。

補足

は次のように定義される。



このとき、r を 『 ボーア半径 』 という。

ここで、m は電子の質量であり、ε は真空誘電率である。

補足

(3)の R(r) は水素原子について解いたものである。

つまり、(3)は次のシュレディンガー方程式に基づいている。

補足

n を 『 主量子数 』 という。

l を 『 方位量子数 』 という。

m を 『 磁気量子数 』 という。

主量子数 n は次の関係をもつ。(詳しくは動径波動関数の導出で述べる)



つまり、n はエネルギーを決定する。

また、l は原子軌道の形を決定する。

補足

(4)において Cl、m は規格化定数である。

これは次のように表される。(これの証明は省略する)



また、Y は次の条件を満たす。(これの証明は省略する)



この(*)は 『(球面調和関数の)正規直交性 』 と呼ばれる。

証明

省略する。

定義 ( 軌道角運動量オペレータ )

次のように定義する。



このとき、L を 『 軌道角運動量オペレータ 』 という。

上記の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、よく知られているように、



また、力学でよく知られているように、角運動量 L=r×p である。

そこで、L=r×p と定義すればよい。

P2

軌道角運動量オペレータを極座標表示すると、



また、次が成り立つ。



ただし、



また、次が成り立つ。



補足

(5)は Y(θ、φ) が L の固有関数であることを意味する。

(6)は Y(θ、φ) が L の固有関数であることを意味する。

l を 『 方位量子数(軌道量子数)』 という。

m を 『 磁気量子数 』 という。

(1)〜(4)の証明

明らかである。(※参考:3次元極座標変換、定義:軌道角運動量オペレータ)

(5)の証明

(4)より、明らかである。(※P1)

(6)の証明

(3)より明らかである。(※P1)

定義 ( 交換関係 )

、B をオペレータとする。

[A、B]=A−B と定義する。

このとき、[A、B] を 『 A と B の交換関係 』 という。

とくに、[A、B]=0 であるとき、「 A と B は可換である 」 という。

また、[A、B]≠0 であるとき、「 A と B は非可換である 」 という。

[A、B]=0 であることは 「 A と B を同時に観測できる 」 を意味する。

一方、[A、B]≠0 であることは 「 A と B を同時に観測できない 」 を意味する。

P3 ( 位置と運動量の交換関係 )

次が成り立つ。

補足

これはハイゼンベルグの不確定性関係の1つの表現である。

補足

は位置オペレータであり、xψ=xψ を意味する。

ただし、x を略記して x と表すこともある。

(1)の証明

次のように計算できる。



よって、

(2)の証明

明らかである。

P4

次が成り立つ。

補足

(1)の式をまとめて次のように表すこともできる。



この(*)は、力学で知られている L×L=0 と異なっていることが分かる。

(1)の証明

次のように計算できる。(※P3)



同様に、



よって、

(2)の証明

次のように計算できる。



よって、

参考 ( 軌道角運動量の方向量子化 )

既に示したように、L について次が成り立つ。(※P2)



とくに、l=2 の場合について図示すると、



つまり、L は5つの方向のみをとる。

これを 『 方向量子化 』 という。

参考 ( |L|の最大値が L の最大値を超える )

既に示したように、次が成り立つ。(※P2)





つまり、L の固有値の平方根は、



一方、L の固有値の最大値は、



このように、|L|は L よりも大きい。

これは古典力学の立場から視ると奇異である。

実際、古典力学では角運動量 L は任意の方向を向くことができる。

よって、L が最大となるのは、L が z 方向をとる。

つまり、L=(0、0、L) となるときである。

すると、|L|=L である。

一方、量子力学では L が最大値(*2)であっても、L と L は 0 に定まらない。(※P5)

よって、|L|は L の最大値より大きくなる。