ディラック流(一般角運動量、昇降オペレータ)

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参考 ( 概要 )

(*) 軌道角運動量オペレータ

(*) 全角運動量

(*) 一般角運動量

(*) 昇降オペレータ

(*) 角運動量の量子化

これらの議論は1つの交換関係を中心に議論が進む。

この意味で、角運動量に関する議論は明快である。

以下、オペレータ ( 例えば p など ) に付けるハット∧は省略する。

復習 ( 正準交換関係 )

位置オペレータ x と運動量オペレータ p に対して次が成り立つ。



これを 『 正準交換関係 』 という。

注意 ( 交代記号(エディントンのイプシロン) )

εijk が次の(1)〜(3)を満たすとする。

(1) 指標(i、j、k)が(1、2、3)の偶置換である場合は εijk=+1 である。

(2) 指標(i、j、k)が(1、2、3)の奇置換である場合は εijk=−1 である。

(3) 指標(i、j、k)が同じ指標を2つ以上もつ場合は εijk=0 である。

このとき、εijk を 『 交代記号(エディントンのイプシロン)』 という。

偶置換は 「 番号の入れ替えを偶数回だけ行う 」 を意味する。

奇置換は 「 番号の入れ替えを奇数回だけ行う 」 を意味する。

つまり、

(*) ε123=ε231=ε312=1

(*) ε132=ε321=ε213=−1である。

(*) εijk=0 (上記以外の場合)

定義 ( 軌道角運動量 )

r を位置オペレータとする。

p を運動量オペレータとする。

このとき、L=r×p を 『 軌道角運動量オペレータ 』 という。

つまり、



むろん、これは次のように表せる。



つまり、

次が成り立つ。



実際、例えば、次のように計算できる。(※正準交換関係)

参考 ( 電子スピン )

引力や斥力に相当するポテンシャルを 『 中心力ポテンシャル 』 という。

むろん、原子に束縛された電子を調べることは中心力ポテンシャルの問題である。

つまり、シュレディンガー方程式を中心力ポテンシャルについて解けばよい。

すると、各状態は量子数(n、l、m)によって指定されることが示される。

ただし、電子は軌道運動量に加えて固有の角運動量をもつことが実験的に確認されている。

そこで、粒子は固有の角運動量 s をもつと仮定する。

そして、この s は軌道角運動量と同じ交換関係を満たすことが示される。



このような S を 『 スピン演算子 』 という。

ここでは電子スピンは天下り的に認めることにする。

電子スピンについての詳細は別節で議論する。

定義 ( 全角運動量 )

L を軌道角運動量オペレータとする。

S をスピン演算子とする。

このとき、J=L+S を 『 全角運動量オペレータ 』 という。

むろん、次が成り立つ。



実際、

定義 ( 一般角運動量 )

上で示したように、L、S、J は同じ交換関係を満たす。

ゆえに、しばらくの間は J を代表して議論すれば十分である。

また、その間は J を 『(一般)角運動量 』 と呼ぶ。

つまり、次の交換関係を角運動量 J の定義であるとしてよい。

以下の議論では、この交換関係(*)が中心的な役割をもつ。

ところで、交換関係(*)はどのようにして導かれたであろうか?

これは L=r×p を正準交換関係によって書き換えることで得られた。(※定義(軌道角運動量)の補足)

結局、いつも出発点は正準交換関係である。

P1 ( 一般角運動量の交換関係 )

J=(J、J、J)を角運動量とする。

=J+J+J と定める。

このとき、

証明

次のように計算できる。(※定義:一般角運動量)

P2 ( 昇降オペレータ )

±=J±iJ とおく。

このとき、







また、



補足

を 『 上昇オペレータ 』 といい、J を 『 下降オペレータ 』 という。

「 上昇 」 と 「 下降 」 という名称の由来は後で説明する。

(1)の証明

次のように計算できる。(※定義:一般角運動量)

(2)の証明

次のように計算できる。(※定義:一般角運動量)

(3)の証明

明らかである。(※P1)

(4)の証明

次のように計算できる。(※定義:一般角運動量)

(5)の証明

(1)と(4)より、

P3 ( 角運動量の固有値問題 )

既に確認したように、J と J は可換である。(※P1)

つまり、J と J は同時固有状態をもつ。

つまり、J と J の固有方程式は次のように表せる。



ここで、|a、b〉は規格化されているとする。

ただし、ここでは後の都合を考えて次のようにおく。



これを解くと、



ただし、慣習的に記号 b を m に置き換えた。

また、a を j(j+1)に置き換えた。( ただし j=bmax=−bmin である )

置き換えについての詳細は以下の証明で説明する。

補足

上式から分かるように、J の最大値は J より小さい。

つまり、m≦j(j+1)である。

補足

次のように計算できる。(※P2)(★0)



これが「上昇」「下降」という名称の由来である。

証明

一般に、対応するケットとブラの内積は0以上である。(※内積の公理)

つまり、〈a、b|J|a、b〉≧0 である。

よって、



一方、



よって、a−b≧0 である。

つまり、昇降オペレータで b を上昇(下降)させるとき、その範囲は有限である。

そこで、b の最大値を bmax と表し、最小値を bmin と表す。

また、J|a、bmax〉=0 と J|a、bmin〉=0 が要請される。(★1)

そうしなければ、(★0)によって 「 bmax より大きな b 」 や 「 bmin より小さい b 」 が存在して矛盾する。

(★1)の両辺に J を左から作用させると、J|a、bmax〉=0 である。

一方、次のように計算できる。(※P2)



よって、



つまり、a=bmax(bmax+1)である。(★1)

ここで、j=bmax とおく。

すると、a=j(j+1)である。

同様に、a=bmin(bmin−1)が得られる。(★2)

(★1)と(★2)より、bmin=−bmax=−j である。

よって、bmax−bmin=2j であり、これは 「 0以上の整数 」 でなければならない。

よって、j=0、1/2、1、3/2、・・・である。

慣習により、b=m とおく。

以上をまとめると、

参考 ( 角運動量に伴う固有ベクトルの規格化 )

既に確認したように、|j、m〉に J が作用すると、mが1だけ増えた固有ベクトルとなる。(※P3補足)

そこで、そのような固有ベクトルを|j、m+1〉と表す。

|j、m〉は規格化されているが、|j、m+1〉が規格化されているとは限らない。

そこで、|j、m+1〉や|j、m−1〉を規格化してみよう。

すると、



(1)の証明

|j、m〉=N|j、m+1〉とおく。

いま、次のように計算できる。(※P2、P3)

(2)の証明

|j、m〉=N|j、m−1〉とおく。

いま、次のように計算できる。(※P2、P3)