ディラック流(電子スピン)

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参考 ( 概要 )

(*) シュテルン-ゲルラッハの実験

(*) スピン演算子の交換関係

(*) スピン演算子はパウリ行列によって表示される。

(*) スピンはユニタリ行列によって変換される。

以下、オペレータ ( 例えば p など ) に付けるハット∧は省略する。

参考 ( 正準交換関係 )

位置オペレータ x と運動量オペレータ p に対して次が成り立つ。



これを 『 正準交換関係 』 という。

復習 ( ディラック流 )

特定の条件を満たす関数全体はベクトル空間となる。

これにより、量子力学では波動関数全体をベクトル空間(やヒルベルト空間)として記述する。

つまり、系の状態はベクトル|α〉として表される。

ベクトル|α〉と|β〉の内積を〈α|β〉と表す。

〈α|を 『 ブラ 』 といい、|β〉を 『 ケット 』 という。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

既に述べたように、この節では離散的固有値問題に注目する。

つまり、正規直交基底は離散的に|a〉 と表せるとする。

いま、次が成り立つ。



前者を 『 規格直交性(正規直交性)』 といい、後者を 『 完全性 』 という。

むろん、δmnは 『 クロネッカのデルタ 』 である。

また、I は 『 恒等変換 』 である。

よく知られているように、恒等変換とは何も変換しない変換を意味する。

ただし、ここで完全性としての恒等変換は任意のベクトルを展開する役割をもつ。

実際、



つまり、各基底ベクトル|a〉に係数としてスカラー〈a|α〉 が付いている。

ここで、A を|a〉を固有ケットとしてもつオペレータとする。

つまり、A|a〉=a|a〉である。

いま、



上式の右辺の右端はブラベクトルになっている。

これは恒等変換 I も同様であった。

つまり、オペレータの右端はつねにブラである。

なぜなら、ブラ〈α|はケット|β〉に作用して内積〈α|β〉を作るからである。

オペレータはケットを変換するのだから、これは当然である。

復習 ( エルミート共役 )

A をオペレータとする。

を 〈α|A|β〉=〈β|A|α〉 で定義する。

このとき、Aを 『 Aのエルミート共役 』 という。

とくに、A=A を満たすオペレータ A を 『 エルミート演算子 』 という。

復習 ( エルミート演算子の性質 )

このとき、次が成り立つ。

(1) エルミート演算子の固有値は実数である。

(2) エルミート演算子について、異なる固有値に伴う固有ベクトルは互いに直交する。

復習 ( 確率解釈 )

A をオペレータとする。

このとき、物理量は A の固有値として表される。

むろん、測定値はつねに実数でなければならない。

ゆえに、オペレータ A はエルミートである。(※参考:エルミート演算子の性質)

いま、系の状態は|α〉 であるとする。

このような系に対して測定を行い、測定値全体は {a} であるとする。

測定値(つまり固有値)に対応するベクトルを|a〉 と表す。

このとき、測定値として a が得られる確率は|〈a|α〉| である。

つまり、物理量 A の期待値は 〈A〉=|〈a|α〉| である。

物理量 A の期待値は 〈A〉=〈α|A|α〉 と表される。

実際、

参考 ( シュテルン-ゲルラッハの実験〜その1 )

z軸方向に不均一な磁場をつくり、ここに水素原子ビームを照射する。

すると、水素原子ビームは z 軸に関して分裂する。



よく知られているように、水素原子は電気的に中性である。

ゆえに、この現象は電気的な相互作用によるものではない。

つまり、これは磁気的な性質によると考えられる。

また、原子核の磁気的な性質は無視してよい。

つまり、この現象は電子の磁気的な性質によると考えられる。

定義 ( 電子スピン )

既に確認したように、電子は磁気的な性質をもつ。(※参考:シュテルン-ゲルラッハの実験〜その1)

そこで、これに相当するオペレータ S=(S、S、S) を 『 スピン演算子 』 という。

シュテルン-ゲルラッハの実験では水素ビームは z 軸に関して分裂した。

そこで、+z方向に偏向したビームに相当する固有状態を|z+〉と表す。

また、−z方向に偏向したビームに相当する固有状態を|z−〉と表す。

これらの固有方程式は次のように表される。



ただし、|z+〉や|z−〉は規格直交基底(正規直交基底)であるとする。

むろん、|z+〉と|z−〉は完全性を満たす。(※ディラック流)

つまり、I=|z+〉〈z+|+|z−〉〈z−|である。

上記の定義を唐突に感じる人は多いと思われる。

しかし、これは読者の責任ではない。

実は、電子スピンは相対論的量子力学で導出される。

具体的には、ディラック方程式の中に電子スピンが現れる。

これについては相対論的量子力学の章で議論する。

今回は非相対論的な量子力学について議論しているのでスピンの導入は天下り的である。

参考 ( シュテルン-ゲルラッハの実験〜その2 )

z軸に関して不均一な場をかける装置を Z と表す。

x軸に関して不均一な場をかける装置を X と表す。

これらの装置を並べて ZZX とし、ここに水素ビームを通す。

まず、水素ビームは最初の Z で|z+〉と|z−〉に分裂する。

ここで、|z−〉を遮断し、|z+〉のみを次の Z に通す。

すると、|z+〉は分裂せずに、そのまま Z を通過する。

この|z+〉が X を通過すると、これは|x+〉と|x−〉に分裂する。

図示すると、



むろん、|x+〉のみを Z に通過させると、これは|z+〉と|z−〉に分裂する。

P1 ( スピン演算子のディラック表示 )

次のように表せる。









補足

ただし、これらは唯一の表示ではない。

実際には位相因子に任意性がある。

これについては以下の証明中で説明する。

ここでは S と S の成分が実数となるように位相因子が選ばれている。

(1)の証明

いま、〈+|+〉=1、〈−|−〉=1、〈+|−〉=0、〈−|+〉=0 である。(※ディラック流)

ただし、|z+〉を|+〉で表し、|z−〉を|−〉で表している。

よって、次のように計算できる。(※定義:電子スピン)

(2)〜(4)の証明

|x+〉を装置 Z に通すと、|z+〉と|z−〉に分裂する。

|x+〉が|z+〉に変換される確率は|〈z+|x+〉|である。(※確率解釈)

|x−〉が|z−〉に変換される確率は|〈z−|x+〉| である。(※確率解釈)

むろん、これらの確率は対等である。

よって、|〈z+|x+〉|=|〈z−|x+〉|=1/2 である。(★1)

この条件を満たす〈z+|x+〉や〈z−|x+〉として、正の実数、負の実数、複素数がある。

ここでは〈z+|x+〉として正の実数を採用する。

つまり、〈z+|x+〉=1/√2 である。

いま、|x+〉は次のように表される。



つまり、|z−〉の成分は長さ 1/√2 の(一般の)複素数である。

(|z−〉に 1/√2 が付く理由は|x+〉が規格化されていることによる )

( このことからスピンは複素平面上の単位ベクトルとして表されることが予想される )

( ちなみに、複素平面上の回転はユニタリ行列U(1)によって表せる )

|x−〉と|x+〉は直交する。(※定義:電子スピン)

よって、次のような表示が考えられる。





これらは同じ状態を表す。(※確率解釈に注意して〈−|−〉が同じことを確認すればよい)

ここでは|z+〉の係数として正の実数を採用する。

ここまでの内容をまとめると、



また、(1)より、



装置 X の代わりに装置 Y を用いることで、同様に議論できる。

つまり、





−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)と同様に、|〈y±|x+〉|=|〈y±|x−〉|=1/2 である。(★2)

いま、





よって、(★2)より、(1/4)|1±exp[i(θ−θ)]|=1/2 である。

よって、|1±exp[i(θ−θ)]|=2 である。

よって、cos(θ−θ)=0 である。(※exp(iθ)=cosθ+isinθ)

よって、θ−θ=±π/2 である。

ここでは S の表示を実数にするために θ=0 を採用する。

さらに、θ=π/2 を採用する。

以上により、定理の結論が得られた。

P2 ( スピン演算子の交換関係 )

次が成り立つ。

補足

上式は1つの式として次のように表せる。



このεabcは交代記号(エディントンのイプシロン)である。

証明

地道に計算すればよい。(※P1)

定義 ( パウリ行列 )

次のように定める。



これを 『 パウリ行列 』 という。

P3 ( スピン演算子の行列表示 )

一般のオペレータ A と基底|a〉に対して次のような自然な対応がある。



とくに、

補足

つまり、スピン演算子はパウリ行列によって行列表示できる。

証明

|α〉を任意の状態とする。

以下、S|α〉について考える。(★)

いま、完全性は|z+〉〈z+|+|z−〉〈z−|=I と表せる。

よって、S|α〉は S(|z+〉〈z+|+|z−〉〈z−|)|α〉 と表せる。

ここで、上式の左から〈z+|や〈z−|を作用させる。

〈z+|を作用させると、〈z+|S|z+〉〈z+|α〉+〈z+|S|z−〉〈z−|α〉である。

〈z−|を作用させると、〈z−|S|z+〉〈z+|α〉+〈z−|S|z−〉〈z−|α〉である。

上の2式は次のように表示できる。



(★)と(*)を比較すると、次のような自然な対応関係がある。



前者を計算すると次を得る。(※P1)

P4 ( ユニタリ演算子の行列表示 )

U=|x+〉〈z+|+|x−〉〈z−|とおく。

このとき、

(1) |x±〉=U|z±〉

(2) UU=I

また、Uの行列表示は、

補足

(1)は U が|z±〉を|x±〉へ変換することを意味する。

あるいは、|x±〉を|z±〉で表示した場合に座標が U で表されることを意味する。

(2)は U がユニタリ演算子であることを意味する。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

いま、U=(|x+〉〈z+|)+(|x−〉〈z−|)=|z+〉〈x+|+|z−〉〈x−|である。

よって、UU=|z+〉〈z+|+|z−〉〈z−|=I である。

(3)の証明

(1)より、次のように計算できる。(※P3、P1)

P5 ( A=「Aの行列表示」 )

をオペレータとする。

A を A の行列表示とする。

このとき、Aの行列表示は A となる。

証明

ここではオペレータにハット∧を付ける。

の行列表示は次のように表される。(※P3)



の行列表示は、



よって、B=A である。

例えば、〈a|A|a=〈a|A|a〉に注意。(※定義:エルミート表示)