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定義 ( スカラー粒子 )

量子状態を1つの成分 ψ(r、t) で表すとする。

これを 『 スカラー粒子 』 という。

定義 ( ベクトル粒子 )

量子状態を3つの成分 ψ(r、t)=(ψ(r、t)、ψ(r、t)、ψ(r、t)) で表すとする。

これを 『 ベクトル粒子 』 という。

は位置ベクトルを意味する。

以下、r を単に r と表す。

ただし、誤解を防ぎたい場合は r と表すこともある。

規約

以下の議論では H は時間に依存しないとする。

定義 ( 運動量オペレータ )

次のように定義する。



このとき、p を 『 運動量オペレータ 』 という。

ただし、



この記号 ∇ を 『 ナブラ 』 という。

P1 ( 空間変位オペレータ )

粒子に微小変位 a=(a、a、a) を与える。

変位前の状態を ψ(r、t) と表す。

変位後の状態を ψ’(r、t) と表す。

あるオペレータ U(a) が存在して、U(a)ψ(r、t)=ψ’(r、t) となるとする。

このとき、

補足

(a) を 『 空間変位オペレータ 』 という。

証明

いま、ψ’(r+a、t)=ψ(r、t) である。

よって、ψ(r−a、t)=U(aψ(r、t) である。

まず、a=(a、0、0) の場合を考える。

いま、a は微小である。

よって、次のように展開できる。(※テイラー展開)



上式を次のように表しても意味は同じである。



よって、



これを3次元に一般化すると、



つまり、

P2 ( 時間変位オペレータ )

粒子に微小な時間変位εを与える。

変位前の波動関数を ψ(r、t) と表す。

変位後の波動関数を ψ’(r、t) と表す。

あるオペレータ U(ε) が存在して、U(ε)ψ(r、t)=ψ’(r、t) となるとする。

このとき、

補足

(ε) を 『 時間変位オペレータ 』 という。

補足

既に注意したように、このページでは H は時間に依存しないと仮定している。

が時間に依存する場合、今回の定理のようにシンプルにはならず、さらに複雑な式となる。

証明

いま、ψ’(r、t+ε)=ψ(r、t) である。

よって、U(ε)ψ(r、t)=ψ(r、t−ε) である。

いま、εは微小である。

よって、次のように展開できる。(※テイラー展開)



上式を次のように表しても意味は同じである。



よって、



一方、シュレディンガー方程式より、



よって、(*1)の第2項は、



よって、(*1)の第3項は、



同様に、(*1)の第n項は、



よって、(*2)は、

P3

(1) 空間変位オペレータはユニタリ性をもつ。

(2) 時間変位オペレータはユニタリ性をもつ。

補足

オペレータ U がユニタリであるとは、U∧†=1 が成り立つことを意味する。

(1)の証明

空間変位オペレータは次のように表される。(※P1)



いま、a は実ベクトルである。

また、よく知られているように、p はエルミート性をもつ。

よって、U(a) はユニタリ性である。

(2)の証明

(1)と同様である。

P4

次が成り立つ。

(1)の証明

いま、次が成り立つ。(※要請:シュレディンガー方程式)



また、|ψ’〉=U|ψ〉 である。

よって、次のように計算できる。(※P3)



(*1)、(*2)より、U∧†=H である。

(2)の証明

(1)と同様に証明できる。

ただし、U は H によって表される。(※P2)

よって、(1)のように計算しなくても(2)が成り立つ。

ただし、この議論では H が時間に依存しないと仮定する場合に限る。(※P2補足)

P5 ( 無限小回転オペレータ〜スカラー粒子ver )

あるスカラー粒子を原点まわりで無限小回転させる。

回転前の粒子の状態を ψ(r) と表す。

回転後の粒子の状態を ψ’(r) と表す。

回転前の粒子の位置を r と表す。

回転後の粒子の位置を r と表す。

いま、r=r+ε×r と表せる。(※無限小回転)(★)

あるオペレータ U(ε) が存在して ψ’(r)=U(ε)ψ(r) であるとする。

このとき、

補足

(ε) を 『 無限小回転オペレータ 』 という。

=r×p は 『 軌道角運動量オペレータ 』 である。

証明

R を回転行列とすると、r=Rr である。(★1)

いま、ψ’(Rr)=ψ(r) である。

よって、ψ(R−1r)=U(ε)ψ(r) である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ここで、(★1)を次のように表す。



一方、(★)より、



(*1)と(*2)より、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、R−1r=r−ε×r である。

よって、(★2)より、次のように計算できる。(※テイラー展開による1次近似)

P6 ( 無限小回転オペレータ〜ベクトル粒子ver )

あるベクトル粒子を原点まわりで無限小回転させる。

回転前の粒子の状態を ψ(r) と表す。

回転後の粒子の状態を ψ’(r) と表す。

回転前の粒子の位置を r と表す。

回転後の粒子の位置を r と表す。

いま、r=r+ε×r と表せる。(※無限小回転)(★)

あるオペレータ U(ε) が存在して ψ’(r)=U(ε)ψ(r) であるとする。

ただし、波動関数は ψ’(r)=Rψ(R−1r) で変化するとする。(★★)

このとき、



ただし、S は次のように定義される。

補足

を 『 スピン角運動量オペレータ 』 という。

これは後で改めて定義する。

証明

P5 の証明で示したように、



よって、(★★)より、次のように計算できる。(※テイラー展開の1次近似)

定義 ( スピン角運動量オペレータ )

P6 で得た S を 『 スピン角運動量オペレータ 』 という。

P7 ( L と S は可換である )

軌道角運動量オペレータ L と、スピン角運動量オペレータ S は可換である。

証明

P6(*2)より、S は粒子の位置や運動量には作用しない。

は ψ(r) の3つの成分を入れ替えるだけである。

一方、L=r×p は ψ(r) の成分には作用しない。

つまり、L と S の作用は異なる。

よって、[L、S]=0 である。

つまり、[L、S]=0 ( i、j=1、2、3 ) である。