固有時間の定義(弧長パラメータの視点)

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参考 ( 概要 )

このページでは次のような対比を重視して議論する。

(1) 計量 → ミンコフスキ計量

(2) 線素 → 固有時間

定義 ( 計量 )

よく知られているように、直交座標の基底ベクトルは座標に依存しない。

また、各基底は互いに直交する。

つまり、



一方、曲線座標では基底べクトルは座標に依存する。

また、互いに直交であるとは限らない。

また、大きさは1でなくてもよいとする。

そこで、次のようにおく。



この gij を 『 計量 』 という。

以下、(gij)の逆行列をgij と表す。

つまり、g−1=(gij)とおく。

明らかに、計量は対称性をもつ。

つまり、gij=gji である。

P1 ( 変換行列の逆行列 )

x’=x’(x)を(曲がった場合も含む)座標変換とする。

このとき、



(1)の証明

x’=x’(x)の(成分毎の)微小変位は、



ここで、x 以外の座標値を一定に保って x を Δx だけ動かしてみよう。

すると、上式により、新座標では各 x’ 方向に(∂x’/∂x)Δx だけ動く。

これは次を意味する。



成分変換(*1)と基底変換(*2)を比較すると、変換が逆になっていることが分かる。

(2)の証明

合成関数の微分より、



つまり、



よって、(1)から(2)を得る。

P2 ( 計量の変換則 )

x’=x’(x)を座標変換則とする。

次が成り立つ。

補足

ちなみに、これは計量が2階共変テンソルであることを意味する。

補足

ここでは指標規約を用いている。

指標規約とは、1つの項で繰り返し現れる添え字に関して和をとるルールである。

つまり、定理の式を狽用いて表すと、

証明

P1より、



( P1の証明 ) よって、



よって、



両辺に a を掛けて q について和をとると、

参考 ( 回転変換と座標変換の不変量 )

(1) 計量は回転変換に対して不変である。

(2) 内積は座標変換に対して不変である。

補足

(1)の証明は2通り用意した。

(1)の証明〜その1

R を回転行列を示す行列とする。

つまり、



よく知られているように、R=R−1 である。

よって、次のように計算できる。(※P2)

(1)の証明〜その2

明らかに、回転変換は次のように表せる。



よって、

(2)の証明

次のように計算できる。(※P1、P2)

復習 ( x軸方向のローレンツ変換〜双曲線関数ver〜ローレンツ因子ver )

次のような座標変換を考える。



このような座標変換を 『(x軸方向の)ローレンツ変換 』 という。

ローレンツ変換の L を次のように表すこともできる。



ただし、



このγを 『 ローレンツ因子 』 という。

P3 ( ミンコフスキ計量はローレンツ変換に対して不変 )

(1) (Δs)=ημνΔxμΔxν はローレンツ変換に対して不変である。

(2) ミンコフスキ時空の計量はミンコフスキ計量であり、これはローレンツ変換に対して不変である。

補足

この定理は参考(回転変換と座標変換の不変量)に似ている。

(1)の証明

ローレンツ変換は、



よって、次が成り立つ。(※coshθ−sinhθ=1)

(2)の証明

(1)より、ds=ημνdxμdxν である。

よって、gμν=eμ・eν=ημν である。(※定義:線素)

また、次のように計算できる。(※P2:計量の座標変換)

定義 ( 固有時間 )

次のように定義する。



このとき、τを 『 固有時間 』 という。

上記の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

x=x(s)、y=y(s)を(直交座標における)曲線とする。

むろん、パラメータ s は自由に選べる。

ただし、次のようなパラメータ s を採用すると便利である。



これは ds=√(x+y)=dx√[1+(dy/dx)]の積分である。

明らかに、パラメータ s は曲線の長さを表す。

このような s を 『 弧長パラメータ 』 という。

いま、接ベクトル t(s)=(dx/ds)e+(dy/ds)e は単位ベクトルである。

つまり、曲線を弧長パラメータで表示すると、曲線の微分は単位接ベクトルである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

では、同様のことをミンコフスキ時空で考えてみよう。

t=t(τ)、x=x(τ)を(ミンコフスキ時空における)曲線とする。

ここで、パラメータτを次のように定める。



これは次の積分である。



これはミンコフスキ時空の弧長パラメータである。

また、(*)はローレンツ変換に対して不変である。(※P3)

つまり、固有時間はどの慣性系で測っても同じである。