勾配、発散、回転に対する直観的説明

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復習 ( 勾配 )

φ(x、y、z)をスカラー場(3変数スカラー値関数)とする。

次のように定義する。



∇φ を gradφ と表すことも多い。

このとき、∇φ を 『 φの勾配 』 という。

つまり、∇φはベクトル場である。

復習 ( 発散 )

(x、y、z)を3次元ベクトル場(3変数3次元ベクトル値関数)とする。

=(v、v、v)とおく。

次のように定義する。



∇・v を div(v) と表すことも多い。

このとき、∇・v を 『 vの発散 』 という。

復習 ( 回転 )

(x、y、z)をベクトル場(3変数3次元ベクトル値関数)とする。

=(v、v、v)とおく。

次のように定義する。



∇×v を rotv と表すことも多い。

このとき、∇×v を 『 vの回転 』 という。

参考 ( 勾配に対する直観的説明〜2変数ver )

φ(x、y)=x+y を2変数スカラー値関数とする。

このとき、∇φ=(2x、2y)である。

図示すると、

むろん、負の符号を付ければ、ベクトルの向きは逆になる。

つまり、−∇φは坂を下るような向きになる。

参考 ( 勾配に対する直観的説明〜3変数ver )

φ(x、y、z)=x+y+z を3変数スカラー値関数とする。

このとき、∇φ=(2x、2y、2z)である。

3変数スカラー値関数は図示できない。

ただし、その等位面を図示することはできる。

等位面とは φ(x、y、z)=C (定数) で表される曲面である。

これを利用して図示すると、

既に確認したように、−∇φは坂を下るような向きになる。

これは力学において重力を表示する場合などに用いられる。

つまり、重力ポテンシャルφが存在して、重力は F=−∇φと表される。

参考 ( 発散に対する直観的説明 )

(x、y、z)=(x、3y、z)を3変数3次元ベクトル値関数とする。

つまり、v はベクトル場である。

このとき、div(v)=2x+3+1=2x+4 である。

つまり、div(v)は v の増大率を意味する。

ゆえに、div(v)>0 の場合、その点を 『 湧き出し 』 と呼ぶ。

一方、div(v)<0 の場合、その点を 『 吸い込み 』 と呼ぶ。

では、川のように、一定に流れる場合はどうなるのだろうか?

そこで、無限の彼方から v=(2、3) で水が流れているとしてみよう。

このとき、div(v)=0 である。

ただ流れているだけなので、水の湧き出しはない。

参考 ( 回転に対する直観的説明 )

rot は、名前の通り、v の回転を意味する。

例えば、定義式の右辺の第3成分に注目しよう。

∂v/∂x は、左回転する強さを意味する。

∂v/∂y は、右回転する強さを意味する。

図示すると、



つまり、∂v/∂x−∂v/∂y は z 軸まわりに v がどちらに回転するかを意味する。