ガリレイ変換の運動法則不変性、相対性理論の光速度不変性、慣性系、コリオリの力

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要請 ( ニュートンの第1法則 )

宇宙には慣性座標系が(少なくとも1つ)存在する。

ただし、慣性座標系とは、慣性の法則が成り立つ座標系を意味する。

慣性の法則とは 「 物体に力が作用しなければ物体の速度は変化しない 」 という法則である。

逆に言えば、第1法則は 『 力 』 の存在を主張している。

以下、慣性座標系を 『 慣性系 』 と呼ぶ。

参考 ( ガリレイ変換の運動法則不変性 )

=(x、y、z) を 『 慣性系 』 とする。

=(x、y、z) を 『 座標系 』 とする。

は、その各座標軸が S の座標軸に対して平行となるように定める。

とくに、t=0 で2つの座標系は一致しているとする。

は、S の座標に対して y 軸方向に一定速度 V で移動しているとする。

いま、



このような変換を 『 ガリレイ変換 』 という。

いま、y=y+V である。(★1)

よって、y・・=y・・ である。(★2)

むろん、x・・=x・・ であり、z・・=z・・ である。

いま、力 F が質量 m の質点に作用するとする。

このとき、(★1)、(★2)より、mr・・=F、mr・・=F である。

つまり、ガリレイ変換において運動法則は不変である。

上で示したように、ガリレイ変換において運動法則は不変である。

つまり、慣性系に対して平行移動する座標系では、運動法則が同様に成り立つ。

つまり、座標系 S は慣性系である。

参考 ( 相対性理論の光速度不変性 )

上で示したように、ガリレイ変換において運動法則は不変である。

ただし、そこでは暗黙に慣性系 S と S における時間の流れは同じであると仮定した。

つまり、t=t を仮定した。

しかし、この前提を疑わなければならない観測結果が得られた。

観測によれば、光の速度は、慣性系 S と S のどちらにおいても不変である。

つまり、参考(ガリレイ変換の運動法則不変性)で得られた式 y=y+V が成り立たない。

これを 『 光速度不変の原理 』 という。

アインシュタインの相対性理論では光速度不変の原理を採用する。

すると、その理論では t≠t となる。

定義 ( 慣性力 )

S=(x、y、z) を 『 慣性系 』 とする。

S’=(x’、y’、z’) を 『 座標系 』 とする。

S’は、その各座標軸が S の座標軸に対して平行となるように定める。

S は固定されているとする。

S’は、その座標軸を S と平行に保ちながら加速度運動するとする。

S における S’の原点の位置を (x、y、z) と表す。

いま、



ここで、力 F=(F、F、F) が質点 m に作用するとする。

いま、S系において、



一方、(*1)より、



S における S’ の原点の位置ベクトルを r=(x、y、z) とする。

S’における質点の位置ベクトルを r’=(x’、y’、z’) と表す。

S における質点の位置ベクトルを r=(x、y、z) と表す。

すると、(*2)と(*3)は次のように表される。



ここで、(1)と(2)を比較すると、(2)には力 F=−mr・・ が余分に作用している。

この力 F を 『 慣性力 』 という。

また、F’=F−mr・・ を 『 S’から見た F 』 と呼ぶことにする。

つまり、S’において、運動方程式は成り立たない。

つまり、S’は 『 非慣性系 』 である。

既に述べたように、S’において運動方程式は成り立たない。

しかし、(2)の式を 『 S’における運動方程式 』 と呼ぶことはある。

もしかしたら、

「 力 F は実在する力なのか?実在しない力なのか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

むろん、F は実在する力ではない。

逆に言えば、人が 「 物体の運動 」 を観測しただけでは力の実在は保障されない。

このことから、ニュートンの第1法則の重要性が分かる。

P1 ( 遠心力、コリオリの力〜一般ver )

S=(x、y、z) を慣性系とする。

S’=(x’、y’、z’) を座標系とする。

S と S’は原点を共有しているとする。

S’は S の z 軸まわりに角速度ωで回転しているとする。

S において質点 m に力 F=(F、F、F) が作用するとする。

F’=(F’、F’、F’) を、S’から見た F とする。

このとき、次が成り立つ。



つまり、



これを次のように表すこともできる。( ただし、ω=(0、0、ω)とする )

補足

とくに、F を 『 遠心力 』 という。

また、F を 『 コリオリの力 』 という。

補足

遠心力 F は原点から離れる方向に作用している。

実際、F=(mωx’、mωy’、0)=mω(x’、y’、0) である。

一方、コリオリの力 F は質点の進行方向に対して右向きに作用する。

実際、F=2mω((y’)、−(x’)、0) である。

分かりにくければ、質点の速度が v=((x’)、(y’)、0) と表されることに注意しよう。

すると、内積は、F・v=(y’)(x’)−(x’)(y’)=0 である。

図示すると、

証明

時刻 t において、S’は S の z 軸まわりに角度 ωt だけ回転している。



よって、





一方、mx・・=F、my・・=F、mz・・=F である。(※Sは慣性系)(★1)

また、(y’)=−xsinωt+ycosωt−ωxcosωt−ωysinωt である。(★2)

(*1)の両辺を t で微分し、(*2)、(★1)、(★2)を用いると、



同様に、



以上により、



むろん、これは次のように表せる。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

さらに、上式をベクトル積で表してみよう。

いま、



よって、



よって、



一方、



よって、

P2 ( 円運動の加速度 )

角速度 ω(=一定) で円周上を運動している質点を考える。

質点の座標を (x、y) と表す。

このとき、質点の速度 v と加速度αは次のように表される。

(1) v=ω(−y、x)

(2) α=−ω(x、y)

(1)の証明

いま、x=rcosθ、y=rsinθ と表せる。

むろん、詳しく表すと、x(t)=rcosθ(t)、y(t)=rsinθ(t) である。

いま、x=−rθsinθ=−rωsinθ である。(★1)

また、y=rθcosθ=rωcosθである。(★2)

よって、v=(x、y)=(−rωsinθ、rωcosθ)=ω(−y、x) である。

(2)の証明

(★1)より、x・・=−ωy=−ωx である。

(★2)より、y・・=ωx=−ωx である。

よって、α=(x・・、y・・)=−ω(x、y) である。

注意

ここまで、P1 と P2 は独立に導かれていることに注意。

いずれの結論も、ニュートンの法則に基づいていて、それ以外は使用していない。

P3 ( 遠心力〜初等ver )

水平で滑らかな円板を考える。

円板の中心 O から距離 r の点に質点 m を置く。

質点に糸を付けて、円板の中心につなぐ。

さらに、質点を角速度 ω(=一定) で反時計回りに回転させる。

S’を質点とともに回転する座標系とする。

つまり、S’は円板の中心 O を原点として角速度 ω(=一定) で反時計回りに回転する。

このとき、S’において質点には慣性力 F=mrω が作用する。

また、この慣性力の向きは円板の中心から離れる方向に作用する。

補足

むろん、この F は遠心力を意味する。

証明

既に、この問題は示されている。(※P1)

しかし、ここでは P1 に頼らずに、直接的に導いてみよう。

いま、質点の加速度の大きさは|α|=rω である。(※P2)

よって、慣性系おいて運動方程式は mrω=F である。

P4 ( コリオリの力〜初等ver )

水平で滑らかな円板を考える。

円板の中心 O から距離 r の点に質量 m の質点を置く。

ここで、円板を反時計回りに角速度 ω(=一定) で回転させる。

S’を円板とともに回転する座標系とする。

つまり、S’は円板の中心 O を原点として角速度 ω(=一定) で反時計回りに回転する。

いま、慣性系(円板の外に静止している観測者)から視ると、質点は静止している。

( 質点と円板の間に摩擦がないことに注意 )

一方、円板上の観測者から見ると、質点は時計回りに角速度ωで回転している。

このとき、質点には遠心力 F の他に慣性力 F が作用している。

また、この慣性力の向きは、質点の進行速度に対して右向きである。

補足

むろん、この F はコリオリの力を意味する。

証明

既に、この問題は示されている。(※P1)

しかし、ここでは P1 に頼らずに、直接的に導いてみよう。

いま、質点の加速度の大きさは|α|=rω である。(※P2)

よって、S’において運動方程式は、mrω=F+F である。

いま、F=−mrω である。(※P3、符合は反対になる)

よって、F=2mrω=2mvωである。