勾配をテンソル積で表示する

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参考 ( 概要 )

=v(x、x、x)をベクトル場とする。

つまり、v=(v、v、v)と表せる。

これに対し、次のように定義される。







しかし、grad(v)はあまり知られていないかもしれない。

実際、初等的な本では grad はスカラー関数に対してのみ定義されているからである。

つまり、任意のスカラー関数をφとすると、



そこで、このページでは grad(v) について解説する。

grad(v)は ∇ と v のテンソル積として定義されている。

div(v) は ∇ と v の内積として定義されている。

rot() は ∇ と v の外積として定義されている。

むろん、テンソル積を持ち出さなくても、(1)の右辺をそのまま定義として認めてもよい。

ただし、テンソル積を通して理解すれば理解が深まるという話である。

注意 ( 指標規約(アインシュタインの規約))

1つの項の中で指標が繰り返し現れる場合、その指標について総和をとる。

このようなルールを 『 アインシュタインの規約 』 という。

例えば、i=1、2、3 である場合、a は a+a+a を意味する。

定義 ( テンソル積 )

=(a、a、a)、b=(b、b、b) をベクトルとする。

次のように定義する。



このとき、a○b を 『 a と b のテンソル積 』 という。

ただし、a○b を a と表すこともある。

=(1、0、0)、e=(0、1、0)、e=(0、0、1) を自然ベクトルとする。

いま、



よって、



上では指標規約を用いた。

むろん、これを萩L号を用いて表すと、

定義 ( 多変数による微分 )

=v(x、x、x)をベクトル場とする。

次のように定義する。

ちなみに、J[v]=det(∂v/∂x)を 『 vのヤコビアン 』 という。

P* ( 勾配をテンソル積で表示する )

=v(x、x、x)をベクトル場とする。

次のように表示できる。

証明

むろん、これは定義から直接に分かることであるから証明は不要である。