絶対的未来、絶対的過去、静止物体のパラドクス

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参考 ( あらゆる物体は光速を超えない )

特殊相対性理論によれば 「 あらゆる物体は光速を超えない 」 とされている。

このことは世間一般においても周知である。

しかし、なぜそのような結論を得るのか、その理由がしっかりと説明される機会は少ない。

そこで、このページでは、これについていくつかの説明を与える。

定義 ( ミンコフスキ時空〜初等ver )

(ct、x、y、z)を座標とする。

2点(ct、x、y、z)と(ct、x、y、z)の距離 s を次のように定める。

(*) s=−c(t−t+(x−x+(y−y+(z−z

このような距離 s が定められた空間を 『 ミンコフスキ時空 』 という。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、通常の空間座標(x、y、z)の原点で光を放射する。

いま、この光が t 秒後に到達する点全体は x+y+z=(ct) で表される。

つまり、−c+x+y+z=0 である。

よって、距離 s がミンコフスキ時空において意味をもつと推測することは自然である。

ちなみに、ローレンツ変換は2次式 −c+x+y+z=0 が不変となる線形変換として定義される。

これの詳細は別ページで議論する。

参考 ( 光円錐の傾斜 )

基準となる慣性系に対して光の速度で運動する物体は x=±ct+A と表される。

つまり、これは空間1次元ミンコフスキ時空上で傾斜 π/4 と 3π/4 の直線で表される。

ここで、物体の速度は c を超えることができないと仮定する。(この仮定の正当性は後で議論する)

すると、物体の運動は π/4 や 3π/4 より急な傾斜をもつ。

つまり、物体の初期値が (ct、x)=(0、0) であるとすると、物体は必ず x=±ct の上方に動く。

つまり、物体は ct≧x かつ ct≧−x を満たす領域へ動く。

ct=x、ct=−x、ct≧0 の共通部分を 『 光円錐 』 という。

ct≧x、ct≧−x の共通部分を 『 因果的領域 』 または 『 絶対的未来 』 という。

また、ct≦x、ct≦−x の共通部分を 『 絶対的過去 』 という。

また、絶対的未来と絶対的過去を総称して 『 時間的領域 』 という。

また、時間的領域の外を 『 空間的領域 』 という。

図示すると、



むろん、空間1次元ミンコフスキ時空の場合、光円錐はV字型の線である。

一方、空間3次元ミンコフスキ時空における光円錐は −c+x+y+z=0 である。

むろん、これは円錐である。

c→∞ とすると、光円錐の傾斜は緩となる。

つまり、c=∞ で空間(x、x、x)に一致する。



つまり、c=∞ は 「 すべての事象は同時に観測される 」 を意味する。

つまり、これは 「 光の速度が無限ならば、すべての物事は同時に観測される 」 を意味する。

しかし、むろん、現実には c<∞ である。( 測定によれば、c=約30万km/秒である )

もしかしたら、

「 なぜ −c+x+y+z=0 が円錐を意味するのだろう? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

まず、これは3次元的円錐なので図示できないことに注意しよう。

これは3次元的球面 x+x+x+x=R を図示できないことと同じである。

むろん、3次元空間で図示できる球面は2次元的球面までである。

そこで、分かり易くするために2次元的円錐 −c+x+y=0 を考える。

変形すると、x+y=c である。

むろん、上式右辺が1であれば、これは円である。

このように、各々 c=1、2、3、・・・に対して円が定まる。

つまり、x+y=c は円錐を意味する。

ちなみに、ローレンツ変換は時間領域の時間的尺度を変更するが、時間的順番を保存する。

ただし、ローレンツ変換は、空間的領域に対しては時間的順番を保存しない。

つまり、空間的領域に対して観測者(原点)が因果関係で法則を記述することはできない。

名称 『 因果的領域 』 は、この領域が 「 原点と連絡を取れる領域 」 であることに由来する。

参考 ( 同時性 )

慣性系によって 『 同時 』 の概念は異なる。

静止している O の横を O’ が速度 v で通過するとする。

その時点で O と O’ の時刻を合わせる。( つまり t=t’=0 である )

また、その時刻に O を基準として等距離にある場所 P と Q から光を放射する。



このとき、O と O’は、いつ光が放射されたと考えるだろうか。

観測者 O は P と Q からの光は同時に放射されたと考える。(★1)

観測者 O’は P と Q からの光は同時ではないと考える。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、(★1)と O’の軌跡を確認する。

いま、O から見ると O’ の軌跡は x=vt である。

つまり、ct=(c/v)x である。

図示すると、



つまり、観測者 O’が異なる時間に光を観測することも分かる。

一方、観測者 O は点 R で同時に光を観測する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、(★2)を確認する。

ここで、視点を変えて、O’から Q へ光を放射する。

そして、Q は光を受け取ると同時に O’へ光を放射する。( つまり鏡が置かれている )

いま、O’は自身が光を放射してから光を観測するまでの時間 Δt を測定できる。

O’は時間 Δt の半分を光源から O’ までに光が要する時間として観測する。

つまり、O’は下図の M ( D と E の中点 ) で Q が光を放射したと考える。



同様に、O’は M ( F と G の中点 ) で P が光を放射したと考える。

いま、M は ct<0 であり、M は ct>0 でえある。

つまり、O’にとって光の放射は同時ではない。

もしかすると、

「 観測者 O’が(★2)のように考えるはずがない。実際、観測者 O’から見れば P と Q は動いているからだ 」

・・・と考える人がいるかもしれない。

おそらく、その人は 『 光 』 と 『 キャッチボール 』 を混同している。

当然だが、観測者 O’は光を観測するまでは P と Q の状態は視えない。

そして、点 G と E で観測者 O’が視る光景は観測者 O と同じである。

つまり、少なくとも G と E を観測したときに、観測者 O’から見れば、P と Q は等距離にある。

参考 ( 座標軸の傾斜 )

S と S’を慣性系とする。

S を基準にして空間1次元ミンコフスキ時空を考える。

S’は S において速度 v で移動しているとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) x’=0 の傾斜は c/v である。

(2) t’=0 の傾斜は v/c である。

(1)の証明

慣性系 S を基準とする空間1次元ミンコフスキ時空上で S’の原点の運動は x=vt である。

つまり、ct=(c/v)x である。

(2)の証明

t’=0 は S’において原点と同時刻になる点全体を意味する。

P を原点と同時刻の点とする。



いま、DO=OE である。(※参考:同時性)

また、α+β=π/2 である。(※参考:光円錐の傾斜)(★1)

また、OP=OE である。(※EDPはEOMの2倍)

よって、△OPDと△OEPは二等辺三角形である。

よって、∠POD=π−2βである。(★2)

また、α+θ=π/4 である。(★3)

また、φ+θ+∠POD=π/2 である。(★4)

(★1)〜(★4)より、θ=φである。

よって、t’=0 の傾斜は x’=0 の傾斜の逆数である。

つまり、t’=0 の傾斜は v/c である。

参考 ( 静止物体のパラドクス )

いま、静止している物体を考える。

このような物体は、位置 x を変えずに時間 t が増加する。

よって、このような物体はミンコフスキ時空において次のように表される。



つまり、静止物体は因果関係の外側に出る。

よって、静止物体は因果関係に従わない 『 魔法 』 である。

ちなみに、この 『 静止物体のパラドクス 』 は、私のオリジナルである。

むろん、このパラドクスはこのページで述べた初歩的な知識で見破れる。