物質客観性の原理→粘性流体の構成式

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復習 ( 勾配テンソル )

F=∂x/∂X を 『 変形勾配テンソル 』 という。

∂u/∂X を 『 変位勾配テンソル 』 という。

L=∂v/dx を 『 速度勾配テンソル 』 という。

微小変形理論では ∂u/∂X=∂u/∂x となる。

ゆえに、微小変形理論では ∂u/∂x も 『 変位勾配テンソル 』 と呼ばれる。

むろん、F=∂x/∂X は物質表示(ラグランジュ表示)である。

また、L=∂v/∂x は空間表示(オイラー表示)である。

変位勾配テンソルの対称部分を 『 歪みテンソル 』 という。

速度勾配テンソルの対称部分を 『 歪み速度テンソル 』 という。

要請 ( 物質客観性の原理 )

物質の物理的な性質は動標構(観測者の運動)に依存しない。

(x、t)、(x、t)をそれぞれ異なる動標構において観測された運動とする。

=A(t)・x+B(t)、t=t−a を座標の変換とする。

つまり、A(t)は直交変換であり、B(t)はベクトルである。

物理的な性質としてのスカラーφ、ベクトル v、テンソル T は次を満たさなければならない。

(M1) f=f

(M2) v=A(t)・v

(M3) T=A(t)・T・A(t)

これが物質客観性の原理である。

例えば、応力テンソルσに対してσ=A(t)・σ・A(t)でなければならない。

P1

(1) 相対ベクトルは物質客観性をもつ。

(2) 2点間の距離は物質客観性をもつ。

(3) 速度ベクトルは物質客観性をもたない。

(4) 変形勾配テンソルは物質客観性をもたない。

(5) 速度勾配テンソルは物質客観性をもたない。

(6) 変形速度テンソルは物質客観性をもつ。

(7) 回転速度テンソルは物質客観性をもたない。

(1)の証明

を粒子 X の位置とする。

を粒子 X の位置とする。

いま、x−x=Q(t)・x+B(t)−(Q(t)・x+B(t))=Q(t)・(x−x)である。

つまり、相対ベクトル x−x は物質客観性(M2)を満たす。

(2)の証明

(1)より、次のように計算できる。



つまり、距離は物質客観性(M1)を満たす。

(3)の証明

x=A(t)・x+B(t)を座標の変換とする。

これを t で微分する。

すると、v=A(t)・v+A(t)・x+B(t)である。

つまり、速度 v は物質客観性(M2)を満たさない。

(4)の証明

F を変形勾配テンソルとする。

いま、dx=F・dX である。(※定義:変形勾配テンソル)

また、dx=F・dX である。

(1)より、dx は物質客観性をもつ。

つまり、dx=A(t)・dx=A(t)・F・dX である。

一方、dX=A(0)・dX=I・dX=dX である。

よって、F・dX=A(t)・F・dX である。

いま、dX は任意である。

よって、F=A(t)・F である。

つまり、変形勾配テンソル F は物質客観性(M3)を満たさない。

(5)の証明

L=∂v/∂x を速度勾配テンソルとする。

(3)の証明に書いたように、v=A(t)・v+A(t)・x+B(t)である。

さらに、これを x で微分する。

すると、



つまり、速度勾配テンソル L は物質客観性(M3)を満たさない。

(6)の証明

D=(1/2)[L+L] を変形速度テンソルとする。

いま、A・A=I である。

よって、A・A+A・(A=O である。

よって、(5)の証明中で示した式より、



つまり、変形速度テンソル D は物質客観性(M3)を満たす。

(7)の証明

W=(1/2)[L−L] を回転速度テンソルとする。

いま、A・A=I である。

よって、A・A+A・(A=O である。

よって、



つまり、回転速度テンソル W は物質客観性(M3)を満たさない。

P2 ( 粘性流体の構成式 )

十分長い時間静止した流体内の応力は等方成分のみをもつ。

よって、粘性流体の構成式は 「 等方成分 」 と 「 流れ成分 」 の和として表される。

また、「 流れ成分 」 は速度勾配テンソル L=D+W の関数と考えられる。

よって、粘性流体の応力テンソルは、



ここに、物質客観性の原理を導入すると、関数 f は W に依存しないことが分かる。

つまり、

補足

ちなみに、ニュートン流体の構成式は、

証明

σ=−pI+f(D、W)を応力テンソルとする。(★1)

応力テンソルは物質客観性を満たさなければならない。

つまり、σ=−pI+f(D、W)=A(t)・σ・A(t)である。(※M3)(★2)

いま、p=p である。(※物質客観性(M1))(★3)

また、D=A・D・A である。(※P1(6)、物質客観性(M3))(★4)

また、W=A・W・A+Ω である。(※P1(7)の証明)(★5)

(★2)に、(★1)と(★3)〜(★5)を代入する。

すると、A・f(D、W)・A=f(A・D・A、A・W・A+Ω)である。

上式は任意の A と A に対して成り立たなければならない。

そこで、A(t)=I、A(t)≠O とする。

いま、f(D、W)=f(D、W+A) である。

よって、f は回転テンソルに依存しない。

つまり、σ=−pI+f(D)である。