平面曲線、曲率、曲率円、対数螺旋

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定義 ( 平面曲線 )

Γ:I→ を連続写像とする。( I は の区間であるとする )

このとき、Γ を 『 曲線 』 という。

とくに、これは 『 平面曲線 』 である。

C=Γ(I) を曲線と呼ぶことも多い。

定義 ( 正則曲線 )

Γ:I→ を曲線とする。

任意の t∈I に対して Γ’(t)≠0 であるとする。

このとき、Γ を 『 正則曲線 』 という。

つまり、正則曲線とは、尖っていない曲線である。

つまり、正則曲線とは、おかしな挙動をしない普通の曲線という意味である。

より正確には、正則曲線とは 「 任意の t∈I に対して Γ’(t)≠0 となるパラメータをもつ C=Γ(I) 」 である。

例えば、次のような平面曲線を考える。



いま、Γ’(0)=(0、0) となる。

しかし、明らかに、Γは円の一部である。

つまり、Γは尖っていない。

実際、t=s とすると、Γ’(0)≠(0、0) である。

注意

以下、とくに断りがない限り、曲線は正則曲線を意味するとする。

定義 ( 弧長パラメータ )

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

次のように定義する。



このとき、s を 『 弧長パラメータ 』 という。

P1

Γ:I→ を曲線とする。

s を弧長パラメータとする。

このとき、|Γ’(s)|=1 である。

証明

いま、s は t の単調増加関数である。

よって、t を s の関数として表示できる。(※逆関数定理)

Γ(t) を s で表示したものを Γ(s)=Γ(t(s)) と表す。

いま、



よって、|Γ’(s)|=1 である。

定義 ( 単位法ベクトル場 )

Γ:I→ を曲線とする。

s を弧長パラメータとする。

次のように定義する。



このとき、N を 『 Γの単位法ベクトル場 』 という。

Γ’(s) は Γ の単位接ベクトルである。

N(s) は、Γ’(s) を反時計回りに90度回転させた単位ベクトルである。

定義 ( 曲率 )

Γ:I→ を曲線とする。

N(s)をΓの単位法ベクトルとする。( s は弧長パラメータである )

いま、ある関数κ(s)が存在して、Γ’’(s)=κ(s)N(s) となる。(★)

このとき、κ(s) を 『 Γの曲率 』 という。

補足

つまり、曲率は曲線の曲がり具合を意味する。

曲率が大きいほど、曲線は急激に曲がる。

(★)の証明

既に確認したように、Γ’(s) と N(s) は直交する。(★1)

一方、|Γ’(s)|=1 を2乗して微分すると、



よって、Γ’’(s) と Γ’(s) は直交する。(★2)

よって、(★1)と(★2)より、Γ’’は N の定数倍として表せる。

ただし、以上のことは直観的にも明らかであろう。

P2 ( フレネ・セレの公式〜平面曲線ver )

Γ:I→ を曲線とする。

T(s)=Γ’(s) とおく。( つまり、T は単位接ベクトル場である )

F:I→M2×2) を F=(T、N) で定める。( つまり、F は行列値関数である )

このとき、次が成り立つ。

証明

いま、T’=Γ’’=κN である。

一方、定義(単位法ベクトル場)より、



以上により、

P3

κ(s)を滑らかな実数値関数とする。( つまり、κは微分可能であり、その導関数は連続である )

次のように定める。



このとき、次が成り立つ。

(1) |Γ’(s)|=1

(2) κはΓの曲率である。

(3) 曲率κをもつ(任意の)平面曲線は、(*)の形で表される。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

いま、



よって、

(3)の証明

Γ(s) を、曲率κをもつ曲線とする。

s は Γ の弧長パラメータであるとする。

を、Γ の単位接ベクトルとする。

を、Γ の単位法ベクトルとする。

∈I とおく。

いま、ある定数 A、A が存在して、T(s)=T(s) となるようにできる。

また、N(s)=N(s) である。

=(T、N) とおく。

いま、(F−F)(s)=O、(F−F)’=O である。

よって、F=F である。

つまり、ΓとΓ は平行移動を除いて一致している。

よって、B と B を選べば、ΓとΓ は一致する。

つまり、曲率κをもつ(任意の)平面曲線は、(*)の形で表される。

P4 ( 円の曲率 )

半径 r の円 C の曲率は、κ(s)=1/r である。

補足

つまり、円の曲率は一定である。

証明

Γ:[0、2π]→ を Γ(t)=(rcost、rsint) で定める。

いま、Γ’(t)=(−rsint、rcost) である。

また、|Γ’(t)|=r である。

つまり、t は弧長パラメータではない。

そこで、s=rt とおく。

いま、Γ’(s)=(−sin(s/r)、cos(s/r)) である。

また、|Γ’(s)|=1 である。

つまり、s は弧長パラメータではない。

また、N(s)=−(cos(s/r)、sin(s/r)) である。

また、Γ’’(s)=−r−1(cos(s/r)、sin(s/r))=r−1N(s) である。

よって、κ(s)=1/r である。

P5 ( 曲率〜一般化 )

Γ(t) を曲線とする。

ただし、t は弧長パラメータとは限らないとする。

κ(s)をΓの曲率とする。

ただし、s は弧長パラメータであるとする。

s=s(t) と表示して、κ=κ(t) と見なす。

このとき、

補足

むろん、最初にこれを定義(曲率)として採用してもよい。

しかし、それではあまりにも唐突であり、内容が分かりづらい。

そこで、まずは弧長パラメータで定義して、それを今回の定理で一般化することにした。

証明

T(s)=Γ’(s) を単位接ベクトルとする。

いま、T’(s)=κ(s)N(s) である。(※定義:曲率)

また、T(t)=Γ’(t)/|Γ’(t)|である。

また、ds/dt=|Γ’(t)|である。(※定義:弧長パラメータ)

よって、



よって、



一方、



よって、

注意

Γ(t) を曲線とする。( t は弧長パラメータとは限らないとする )

T(s) を Γ の単位接ベクトルとする。( s は弧長パラメータである )

このとき、T(s(t))=Γ’(t)/|Γ’(t)|である。

証明 ( 直観ver )

いま、s=s(t) と表せる。

よって、T(s) を t の関数と見なすことができる。

つまり、T(t)=T(s(t)) である。

いま、任意の s に対して|T(s)|=1 である。

よって、任意の t に対して|T(s(t))|=1 である。

つまり、任意の t に対して|T(t)|=1 である。

また、T(t) の向きは Γ’(t) である。

よって、T(t)=Γ’(t)/|Γ’(t)|である。

証明 ( 数式ver )

いま、ds/dt=|Γ’(t)|である。(※定義:弧長パラメータ)

よって、

P6 ( 曲率円 )

Γ:I→ を曲線とする。( 正則曲線でなくてよい )

∈I で κ(s)≠0 であるとする。

点Γ(s)を始点とし、N(s)方向に大きさ 1/κ(s) となるベクトルを考える。

このベクトルの終点を c(s) と表す。

次にょうに定める。



このとき、次が成り立つ。

(1) Γ’(s)=Cκ’(s

(2) Γ’’(s)=Cκ’’(s

補足

κ(s) を 『 曲率円 』 という。

つまり、曲率円はΓに2次接触する。

補足

この定理によって曲率の意味が明確になる。

図示すると、

証明

κ(s) の曲率は κ(s) である。(※P4)

いま、Γ’(s) と Cκ’(s) は共に単位接ベクトルであり、同じ方向である。

よって、Γ’(s)=Cκ’(s) である。

よって、Γ と Cκ の s における単位法ベクトルは一致する。

一方、Γ と Cκ の s の曲率は一致している。

よって、Γ’’(s)=Cκ’’(s) である。

参考 ( 対数螺旋の曲率 )

Γ:I→ を Γ(θ)=(aθcosθ、aθsinθ) で定める。( ただし、a>0 とする )

このとき、

補足

Γを図示すると、

証明

いま、





よって、次のように計算できる。(※P5)