空間曲線、曲率、常螺旋

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定義 ( 空間曲線 )

Γ:I→ を連続写像とする。( I は の区間であるとする )

このとき、Γ を 『 曲線 』 という。

とくに、これは 『 空間曲線 』 である。

C=Γ(I) を曲線と呼ぶことも多い。

定義 ( 正則曲線 )

Γ:I→ を曲線とする。

任意の t∈I に対して Γ’(t)≠0 であるとする。

このとき、Γ を 『 正則曲線 』 という。

つまり、正則曲線とは、尖っていない曲線である。

つまり、正則曲線とは、おかしな挙動をしない普通の曲線という意味である。

注意

以下、とくに断りがない限り、曲線は正則曲線を意味するとする。

定義 ( 弧長パラメータ )

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

次のように定義する。



このとき、s を 『 弧長パラメータ 』 という。

P1

Γ:I→ を曲線とする。

s をΓの弧長パラメータとする。

このとき、|Γ’(s)|=1 である。

証明

いま、s は t の単調増加関数である。

よって、t を s の関数として表示できる。(※逆関数定理)

Γ(t) を s で表示したものを Γ(s)=Γ(t(s)) と表す。

いま、



よって、|Γ’(s)|=1 である。

定義 ( 曲率〜空間曲線ver )

Γ:I→ を曲線とする。

s をΓの弧長パラメータとする。

κ:I→ を κ(s)=|Γ’’(s)| で定める。

このとき、κを 『 Γの曲率 』 という。

上記の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

いま、|Γ’(s)|=1 でである。

よって、(|Γ’(s)|)’=(Γ’(s)、Γ’(s))’=2(Γ’’(s)、Γ’(s))=0 である。

つまり、Γ’’とΓ’は直交する。

つまり、Γ’’は法ベクトルである。

平面曲線の場合、Γ’’の方向は1次元方向に(正負を除いて)一意に定まる。

よって、平面曲線の場合、Γ’’=κN によって曲率を定義できた。

空間曲線の場合、Γ’’の方向は無数に選べる。

そこで、κ(s)=|Γ’’(s)|によって定義したのである。

つまり、空間曲線の場合、κ≧0 である。

一方、平面曲線の場合、κは正負の値をとる。

定義 ( 単位法ベクトル、単位従法ベクトル )

Γ:I→ を曲線とする。

Γの曲線 κ:I→ が存在して、つねに κ(s)>0 であるとする。

次のように定める。

(1) N=κ−1Γ’’

(2) B=Γ’×N

このとき、N(s) を 『 単位法ベクトル 』 という。

また、B(s) を 『 単位従法ベクトル 』 という。

明らかに、|N(s)|=1、|B(s)|=1 である。

P2 ( フレネ・セレの公式〜空間曲線ver )

Γ:I→ を曲線とする。

κ:I→ をΓの曲率とする。( κ>0 であるとする )

T(s)=Γ’(s) を単位接ベクトルとする。

N(s) を単位法ベクトルとする。

B(s) を単位従法ベクトルとする。

F:I→M3×3) を F=(T、N、B) で定める。

このとき、ある滑らかな実数値関数 τ:I→ が存在して、次を満たす。

補足

後で改めて定義するが、このτを 『 捩率 』 という。

証明

第1列は T’=κN によって分かる。(★1)

いま、(N、N)=1 である。

よって、(N、N)’=(N’、N)+(N、N’)=0 である。

つまり、2(N’、N)=0 である。

つまり、(N’、N)=0 である。

つまり、N’は N に直交する。

よって、ある滑らかな実数値関数 a(s) と τ(s) が存在して、N’=aT+τB と表せる。

一方、(T、T)=1、(B、T)=0 である。

よって、(N’、T)=a である。

一方、(N、T)=0 である。

よって、(N’、T)+(N、T’)=0 である。

よって、a=(N’、T)=−(N、T’)=−(N、κN)=−κ である。

つまり、N’=−κT+τB である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、(B、B)=1 である。

よって、(B’、B)=0 である。

よって、B’=cT+dN と表せる。

一方、(B、T)=0 である。

よって、(B、T)’=(B’、T)+(B、T’)=0 である。

よって、(B、T’)=(T×N、κN)=(κN、T×N)=det(κN、T、N)=0 である。

よって、c=(B’、T)=−(B、T’)=0 である。

よって、B’=dN である。

よって、(B’、N)=d である。

一方、(B、N)=0 より、(B’、N)+(B、N’)=0 である。

よって、(★2)より、(B’、N)=−(B、N’)=−τ である。

よって、d=−τである。

つまり、B’=−τN である。(★3)

改めて、(★1)〜(★3)の結果をまとめると、

(*1) T’=κN

(*2) N’=−κT+τB

(*3) B’=−τN

よって、

定義 ( 捩率 )

Γ:I→ を曲線とする。

τ(s) を P2 によって定まる滑らかな実数値関数とする。

このとき、τ を 『 Γの捩率 』 という。

捩率は 「 れいりつ 」 と読む。

捩は 『 ねじれ 』 という意味である。

P3

κ(s)≧0、τ(s) を滑らかな実数値関数とする。

このとき、ある空間曲線 Γ(s) が存在して、κを曲率、τを捩率としてもつ。

また、このような曲線は回転と平行移動を除いて一意に定まる。

証明

フレネ・セレの公式を F の常微分方程式と見なせばよい。(※解の存在と一意性)

P4

Γを曲線とする。

κ>0 であるとする。

このとき、次は同値である。

(1) 捩率τが恒等的に 0 である。

(2) 曲線が1つの平面に含まれる。

証明

省略する。

参考 ( 常螺旋の曲率と捩率 )

Γ:I→ を Γ(t)=(acost、asint、bt) で定める。

s をΓの弧長パラメータとする。

このとき、Γ(s) の曲率と捩率は次のように表される。

補足

つまり、常螺旋の曲率と捩率は一定である。

証明

いま、|Γ’(t)|=√(a+b) である。

よって、s=t√(a+b) である。

よって、Γ(s)=(acos(s/c)、asin(s/c)、bs/c) である。

ただし、c=√(a+b) である。

いま、T(s)=Γ’(s)=c−1(−asin(s/c)、acos(s/c)、b) である。

また、T’(s)=Γ’’(s)=c−2(−acos(s/c)、−asin(s/c)、0) である。

よって、κ(s)=|Γ’’(s)|=|a|/c である。

また、N(s)=T’(s)/|T’(s)|=a|a|−1(−cos(s/c)、−sin(s/c)、0) である。

よって、