曲線座標テンソル場→接続係数

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参考 ( 概要 )

このページでは次のことを議論する。

(1) 曲線座標の物理流テンソル

(2) 接続係数

(3) 直線座標から曲線座標への変換則 ( 接続係数は微分の成分を補正する項である )

とくに、(3)によって接続係数の役割が分かる。

注意

以下、直交座標と斜交座標をまとめて 『 直線座標 』 という。

定義 ( 直線座標の物理流テンソル )

=ax’ ( x’=b ) を座標変換とする。

つまり、b=δ である。

ある数の組 S=(S・・・i・・・j)が存在して次を満たすとする。



このとき、S・・・p・・・q を 『 座標系 E における(r、s)テンソルの成分 』 という。

また、S’・・・i・・・j を 『 座標系 E’における(r、s)テンソルの成分 』 という。

ここで、a や b は定数である。

それは、この座標変換が1次変換であることによる。

一方、直線座標から曲線座標への変換は1次変換ではない。

ゆえに、a や b が変化する。

先に結論を言うと、a や b は ∂x/∂u や ∂u/∂x に置き変わる。

以下、詳しく議論する。

P1 ( ∂x/∂u や ∂u/∂x の役割は b や a と同じ〜その1 )

x=(x、x)を直線座標とする。

u=(u、u)を曲線座標とする。

このとき、

補足

つまり、

補足

定理の式から分かるように、∂x/∂u や ∂u/∂x は、定義(物理流テンソル)の b や a と同じ役割をもつ。

(1)の証明

例えば、(1、1)成分は次のように計算できる。(※合成関数の微分)



また、(1、2)成分は、

(2)の証明

(1)と同様である。

P2 ( ∂x/∂u や ∂u/∂x の役割は b や a と同じ〜その2 )

x=(x、x)を直線座標とする。

u=(u、u)を曲線座標とする。

f(x、x) を直線座標でのスカラー場とする。(★1)

f(u、u) を、曲線座標における(★1)の表示とする。

X’(x、x)を直線座標でのベクトル場とする。(★2)

X(u、u)を曲線座標における(★2)の表示とする。

このとき、







補足

つまり、これは定義(直線座標の物理流テンソル場)の係数が、次のように置き変わることを意味する。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

と e を直線座標の自然基底とする。

これに対応する曲線座標上のベクトルは ∂x/∂u と ∂x/∂u である。

いま、ベクトル X は次の形で表せる。





また、



よって、



(*1)と(*2)より、

(3)の証明

明らかである。(※合成関数の微分)

(4)の証明

(1)と(2)より、

定義 ( 曲線座標の物理流テンソル )

x を直線座標とする。

u を曲線座標とする。

ある数の組 T=(T・・・i・・・j)が存在して次を満たすとする。



このとき、T を 『(r、s)テンソル場 』 という。

この定義は P2 の補足で述べた通りである。

つまり、定義(直線座標の物理流テンソル)の係数を置き換えただけである。

定義 ( 接続係数 )

x=(x、x)を直線座標とする。

u=(u、u)を曲線座標とする。

いま、x(u、u)=(x(u、u)、x(u、u)) と表せる。

次のようにおく。









このとき、Γjk を 『 接続係数 』 という。

通常、関数について偏微分の順序を交換可能とすることが多い。

よって、接続係数は下添字に関して対称である。

つまり、Γjk=Γkj である。

P3 ( 曲線座標の微分の成分=「直線座標の微分の成分+接続係数」 )

x=(x、x)を直線座標とする。

u=(u、u)を曲線座標とする。

X’(x、x)を直線座標でのベクトル場とする。(★)

X(u、u)を曲線座標における(★)の表示とする。

このとき、



補足

(2)は ∂X/∂u+Γpm が微分の成分であることを意味する。

よって、(1)は微分の変換則である。

(1)の証明

いま、



つまり、



よって、

(2)の証明

P1より、