鏡像原理、解析接続

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定義 ( 鏡像 )

D を の部分集合とする。

={ z|z∈D } と定義する。

このとき、D を 『 実軸に関する D の鏡像 』 という。

むろん、D が上半平面の部分集合ならば、D は下半平面の部分集合である。

また、D が下半平面の部分集合ならば、D は上半平面の部分集合である。

P1 ( 鏡像原理 )

D を上半平面の領域とする。

I=(a、b)を実軸上の開区間とする。

I は D の境界の一部であるとする。

D∪I∪D は領域であるとする。

f:D∪I→ を複素関数とする。

次が成り立つとする。

(1) f が D 上で正則である。

(2) f は D∪I 上で連続である。

(3) f は I 上で実数値である。

次のように定義する。



このとき、F は正則関数である。

補足

つまり、正則関数を正則性を保ったまま鏡像まで拡大できる。

証明

明らかに、F は D 上で正則である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、F が D 上で正則であることを示そう。

z∈D とおく。

いま、z∈D である。

よって、



つまり、F は D 上で正則である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、F が任意の点 x∈I で正則であることを示す。

∈I とおく。

いま、f は D∪I 上で連続である。

いま、F は D∪I 上で連続である。

h∈ とおく。

ただし、|h|は十分小で、Imh<0 であるとする。

いま、h→0 とすると、F(x+h)=f(x+h→f(x である。

また、条件(3)より、f(x=f(x)=F(x)である。

よって、limImh<0、h→0F(x+h)=F(x)である。

よって、F は D 上で連続である。

よって、F は D∪I∪D 上で連続である。(★3)

U を x の近傍とする。

ただし、U⊂D∪I∪D であるとする。

Γを U 内の長方形閉曲線とする。

Γの内部と周が D に含まれる場合、∫ΓFdz=0 である。(※コーシーの積分定理)

Γの内部と周が D に含まれる場合、∫ΓFdz=0 である。(※コーシーの積分定理)

( 上でコーシーの積分定理を使用できるのは、(★1)と(★2)のおかげである )

次に、Γが D と D の両方に含まれる場合を考える。

曲線 L、Γ、Γ を下図のようにとる。



つまり、Γ=Γ・Γ である。

Γ=L・Γ、Γ=(−L)・Γ とおく。

いま、∫ΓFdz=∫ΓFdz+∫ΓFdz である。

( L上の積分は相殺される )

曲線 Lε、Γ1、ε を下図のようにとる。



Γ+、ε=Lε・Γ1、ε とおく。

条件(2)より、



つまり、



よって、



一方、∫Γ、εF(z)dz=0 である。(※コーシーの積分定理)

よって、∫ΓF(z)dz=0 である。

同様に、∫ΓF(z)dz=0 である。

よって、∫ΓF(z)dz=0 である。

よって、F は D∪I∪D 上で正則である。(※モレラの定理)

定義 ( 解析接続〜その1 )

:D を正則関数とする。

:D を正則関数とする。

∩D は空ではないとする。

∩D 上で f=f であるとする。

ここで、次のように定義する。



明らかに、f は D∪D 上で正則である。

つまり、f から f へ、正則を保ったまま拡大された。

この f を 『 f の解析接続 』 という。

つまり、解析接続とは、正則性を保ったまま関数を拡大することである。

前ページで示した 『 鏡像原理 』 は解析接続の代表例である。

復習 ( 一致の定理〜その1 )

D を の領域とする。

f、g:D→ を正則関数とする。

ある点列(zn∈⊂D が存在して、次を満たすとする。

(*1) f(z)=g(z) (n∈

(*2) limn→∞=a∈D

(*3) z≠a (n∈

このとき、D上で f=g である。

復習 ( 一致の定理〜その2 )

D を の領域とする。

f、g:D→ を正則関数とする。

A⊂D を、集積点をもつ集合とする。

A上で f=g であるとする。

このとき、D上で f=g である。

一致の定理は 『 解析接続の原理 』 と呼ばれることもある。

これは解析接続の議論で基本的な道具となる。

復習

f:D→ を正則関数とする。

f は、任意の点 a∈D まわりでテイラー展開可能である。

つまり、巾級数展開可能である。

逆に、よく知られているように、巾級数は正則である。

つまり、「 正則⇔巾級数展開可能 」 である。

P2

P(z、a)=0≦n≦∞(z−a) を、点 a を中心とする巾級数とする。

ρ(a)を P(z、a)の収束半径とする。

S(a、ρ(a))={ z∈:|z−a|<ρ(a)}とおく。

いま、P(z、a)は S(a、ρ(a))内で正則である。

よって、任意の点 b∈D まわりで P(z、a)はテイラー展開可能である。

P(z、b)を、点 b∈D まわりでの P(z、a)のテイラー展開とする。

このとき、P(z、b)は、P(z、a)の解析接続である。

証明

いま、b∈D である。

よって、|b−a|<ρ(a)である。

’={ z∈:|z−b|<ρ(a)−|a−b|}とおく。

いま、D’⊂D である。

また、P(z、a)は D’上で正則である。

よって、ρ(b)≧ρ(a)−|a−b|である。

いま、D’⊂D∩D である。

よって、D’上で P(z、a)=P(z、b)である。

よって、D∩D 上で P(z、a)=P(z、b)である。(※一致の定理)

つまり、P(z、b)は、P(z、a)の解析接続である。

定義 ( 直接接続 )

P(z、a)、P(z、b)を巾級数とする。

b∈S(a、ρ(a))であるとする。

いま、P(z、b)は、P(z、a)の解析接続である。(※P2)

そこで、とくに、P(z、b)を 『 P(z、a)の直接接続 』 という。

むろん、S(b、ρ(b))⊂S(a、ρ(a))の場合は意味がない。

定義 ( 間接接続 )

P(z、a)を巾級数とする。

P(z、b)を、P(z、a)から有限回の直接接続によって得られる解析接続とする。

このとき、P(z、b)を 『 P(z、a)の間接接続 』 という。

定義 ( 曲線接続 )

Γ を、a を始点とし、b を終点とする曲線とする。

( Γは連続性だけあれば十分である。連続微分可能性は仮定しなくてよい )

P(z、a)を巾級数とする。

a=a、a、・・・、a=b をΓ上の中間点とする。

ある巾級数 PΓ(z、a)、・・・、PΓ(z、a)が存在して次を満たすとする。

(1) PΓ(z、a)=PΓ(z、a)

(2) PΓ(z、aj+1)はPΓ(z、a)の直接接続である。

(3) 部分弧<<aj+1>> は PΓ(z、a)の収束円に含まれる。

このとき、「 P(z、a)は曲線Γに沿って解析接続可能である 」 という。

また、PΓ(z、b)を 『 曲線Γに沿う P(z、a)の解析接続 』 という。

P3 ( 曲線接続の一意性 )

P(z、a)を巾級数とする。

Γ を、a を始点とし、b を終点とする曲線とする。

P(z、a)はΓに沿って解析接続可能であるとする。

このとき、PΓ(z、b)は、曲線上の点 a、・・・、an−1 に依存しない。

証明

a=a、・・・、a=b をΓ上の中間点とする。

a=b、・・・、b=b をΓ上の中間点とする。

Q(z、b):k=1、・・・、m を巾級数とする。

Q(z、b)は、定義(曲線接続)の条件(1)〜(3)を満たすとする。

つまり、

(*1) Q(z、b)=PΓ(z、a)

(*2) Q(z、bk+1)は Q(z、b)の直接接続である。

(*3) 部分弧<<bk+1>>は Q(z、b)の収束円に含まれる。

=∪1≦j≦nS(a、ρ(a))とおく。

=∪1≦k≦mS(b、ρ(b))とおく。

いま、Γ⊂D、Γ⊂D である。

よって、次が成り立つ。(※定義:解析接続〜その1)

(*4) ある正則関数 F:D が存在して、S(a、ρ(a))上で F(z)=PΓ(z、a)となる。

(*5) ある正則関数 G:D が存在して、S(b、ρ(b))上で G(z)=Q(z、b)となる。

いま、S(a、ρ(a))=S(b、ρ(b))上で F(z)=G(z)である。

よって、D∩D 上で F(z)=G(z)である。(※一致の定理)

いま、S(b、ρ(b))⊂D∩D である。

よって、PΓ(z、b)=Q(z、b)である。

P4

P(z、a)を巾級数とする。

P(z、a)はΓ に沿って解析接続可能であるとする。

a=a、a、・・・、a=b をΓ上の中間点とする。

D=∪1≦j≦nS(a、ρ(a))とおく。

Γ を、a を始点とし、b を終点とする 『 区分的に連続微分可能な曲線 』 とする。

Γ⊂D であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) P(z、a)はΓ に沿って解析接続可能である。

(2) PΓ(z、b)=PΓ(z、b)である。

(1)の証明

∂D を D の境界とする。

ε=d(∂D、Γ)とおく。

いま、Γ の長さは有限である。

よって、Γ上の中間点 a=b、b、・・・、b=b が存在して、

部分弧<<bj+1>> の長さがεより小さくなるようにできる。

いま、ある正則関数 F:D→ が存在して、次が成り立つ。(※定義:解析接続〜その1)

(*) S(b、ρ(b))上で F(z)=PΓ(z、b)となる。

P(z、b)を、b まわりの F のテイラー展開とする。

その収束半径は、ε以上である。

よって、<<bj+1>> は S(b、ρ(b))に含まれる。

よって、P(z、bj+1)はP(z、b)の直接接続である。

よって、P(z、a)はΓ に沿って解析接続可能である。

(2)の証明

A3 と同様である。

定義 ( 折れ線曲線 )

L を曲線とする。

ある有限直線 L、・・・、L が存在して、L=L・・・L となるとする。

このとき、L を 『 折れ線曲線 』 という。

P5

P(z、a)、P(z、b)を巾級数とする。

このとき、次は同値である。

(1) P(z、b)はP(z、a)の間接接続である。

(2) ある曲線Γが存在して、P(z、b)はΓに沿う P(z、a)の解説接続である。

証明

(1)を仮定する。

いま、a=a、a、・・・、a=b が存在して、P(z、a)はP(z、ak−1)の直接接続となる。

ここで、a、a、・・・、a をつないで折れ線曲線Γを構成できる。

いま、P(z、b)はΓに沿う P(z、a)の解析接続である。

一方、(2)⇒(1)は明らかである。

定義 ( 解析接続〜その2 )

間接接続と曲線接続を総称して 『 解析接続 』 という。

このように定義しても問題ないことは A5 によって保障されている。

このような解析接続を 『 ワイエルシュトラスの方法 』 という。

P6 ( 折れ線曲線の存在 )

D を の領域とする。

a、b∈D とする。

このとき、ある D 内の折れ線曲線が存在して、a と b を結ぶことができる。

証明

省略する。

詳細は、複素解析、微分積分、距離空間論などを参照。

P7

D を の領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

(z、a)を点 a∈D における f のテイラー展開とする。

このとき、任意の点 a、b∈D に対し、P(z、b)は P(z、a)の解析接続である。

証明

明らかである。(※P6)