フーリエ変換の具体例(急減少関数、ガウス関数)

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参考 ( 概要 )

入門書では関数空間を明示せずにフーリエ変換や反転公式を紹介することが多い。

しかし、実際には関数空間の範囲を定める必要がある。

基本的な関数空間として 『 急減少関数 』 がある。

急減少関数は基本的だが、入門者にとっては難しく感じられることも多いと思われる。

ゆえに、入門書が関数空間を意識せずにフーリエ変換を議論することは妥当である。

しかし、関数空間についてある程度のことを述べることも重要である。

そこで、このページでは代表的な急減少関数としてガウス関数を考える。

ガウス関数に対してフーリエ変換や反転公式を示すことは難しくない。

以下ではガウス関数に対してフーリエ変換や反転公式を示す。

急減少関数に対する一般論は参考程度に留める。

参考 ( 急減少関数 )

f(x) を 上の複素数値 C 級関数とする。

任意の自然数 m、n に対してsupx∈|x||f(m)(x)|<∞ であるとする。

このとき、f を 『 急減少関数 』 という。

上の急減少関数全体を S() で表す。

は実数全体を意味する。

つまり、急減少関数は無限区間(−∞、∞)上で定義されている。

定義 ( フーリエ変換 )

次のように定義する。

定義 ( フーリエ逆変換 )

次のように定義する。

定義 ( 合成積 )

次のように定義する。



このとき、f*g を 『 f と g の合成積 』 という。

参考 ( 急減少関数はフーリエ変換に関して閉じている )

次が成り立つ。

(1) f∈S() ⇒ F[f]∈S(

(2) f∈S() ⇒ F−1[f]∈S(

つまり、急減少関数のフーリエ変換は急減少関数である。

また、急減少関数のフーリエ逆変換は急減少関数である。

参考 ( フーリエの反転公式 )

f∈S()に対して次が成り立つ。

(1) F−1F[f]=f

(2) FF−1[f]=f

つまり、関数のフーリエ変換をフーリエ逆変換すると元に戻る。

また、関数のフーリエ逆変換をフーリエ変換すると元に戻る。

このことは 『 反転公式 』 として知られている。

しかし、この定理がすべての関数に対して成り立つわけではない。

では、どのような関数に対して成り立つのであろうか?

その議論の出発点として急減少関数が挙げられる。

つまり、急減少関数に対して反転公式が成り立つ。

参考 ( S(R)は合成積に関して閉じている )

f、g∈S() に対して f*g∈S() である。

つまり、急減少関数の合成積は急減少関数である。

既に確認したように急減少関数に対してフーリエ変換を定義できる。

つまり、f*g に対してフーリエ変換を定義できる。

参考 ( ガウス関数 )

f(x)=Aexp(αx)を 『 ガウス関数 』 という。

ガウス関数は様々な分野(物理学、化学、統計学など)で有用である。

その理由の1つはガウス関数のフーリエ変換が再びフーリエ変換となることにある。

以下、このことを確認しよう。

P1 ( ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数である )

a>0 とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

つまり、ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数である。

むろん、これは参考(急減少関数はフーリエ変換に関して閉じている)の特別な場合である。

補足

(1)と(2)より、F−1F[exp(−ax)]=exp(−ax) である。

つまり、exp(−ax) をフーリエ変換してからフーリエ逆変換すると元に戻る。

むろん、これは参考(反転公式)の特別な場合である。

(1)の証明

次のように計算できる。



X(k)=F[exp(−ax)](k) とおく。

いま、X’=−(k/2a)X である。

よって、一般解は、X(k)=Cexp(−k/4a) である。

また、



一方、よく知られているように、次が成り立つ。(※ガウス積分)



よって、C=(2a)−1/2 である。

以上により、

(2)の証明

(1)と同様である。

P2 ( 合成積のフーリエ変換 )

f、g∈S() とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) F[f*g]=(2π)1/2F[f]F[g]

(2) F−1[f*g]=(2π)1/2−1[f]F−1[g]

(3) F−1[fg]=(1/2)−1/2−1[f]*F−1[g]

補足

以下の証明では参考(フーリエの反転公式)を用いる。

むろん、私たちは急減少関数について反転公式を示したわけではない。

この意味で、この議論は反則である。

ただし、私たちはガウス関数に対して反転公式が成り立つことを示した。

ゆえに、厳密性を重視する人は今回の定理はガウス関数に対する主張であると思えばよい。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

(1)と同様に計算できる。

(3)の証明

=F−1[f]、g=F−1[g] とおく。

いま、f、g∈S()である。(※参考:急減少関数はフーリエ逆変換に対して閉じている)

また、f=F[f] と g=F[g] である。(※参考:フーリエの反転公式)

よって、(1)より、fg=F[f]F[g]=(2π)−1/2F[f*g]である。

よって、F−1[fg]=(2π)−1/2*g=(2π)−1/2−1[f]*F−1[g] である。

P3 ( ガウス関数の合成積 )

a、b>0 とおく。

f(x)=exp(−ax)、g(x)=exp(−bx) とおく。

このとき、

証明

次のように計算できる。(※P1、P2)