急減少関数のconvolution

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定義 ( 急減少関数 )

f(x) を 上の複素数値 C 級関数とする。

任意の自然数 m、n に対してsupx∈|x||f(m)(x)|<∞ であるとする。

このとき、f を 『 急減少関数 』 という。

上の急減少関数全体を S() と表す。

ここでは複素数値としたが、これを実数値と考えても議論に大きな違いはない。

定義 ( フーリエ変換 )

f∈S() とおく。

次のように定義する。

定義 ( フーリエ逆変換 )

f(ξ)∈S() とおく。

次のように定義する。

定義 ( convolution )

f、g∈S() とおく。

次のように定義する。



このとき、f*g を 『 f と g の convolution 』 という。

P1 ( 基本計算 )

a>0 とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)、(2)より、F−1F[exp(−ax)]=exp(−ax) である。

つまり、exp(−ax) をフーリエ変換してからフーリエ逆変換すると元に戻る。

これは後で紹介する 『 フーリエの反転公式 』 の特別な場合である。

(1)の証明

次のように計算できる。



X(ξ)=F[exp(−ax)](ξ) とおく。

いま、X’=−(ξ/2a)X である。

よって、一般解は、X(ξ)=Cexp(−ξ/4a) である。

また、



一方、よく知られているように、



よって、C=(2a)−1/2 である。

以上により、

(2)の証明

(1)と同様である。

P2 ( フーリエの反転公式 )

f∈S() とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) F−1F[f]=f

(2) FF−1[f]=f

証明

省略する。

P3 ( S(R) は convolution に関して閉じている )

f、g∈S() に対し、f*g∈S() である。

補足

つまり、f*g に対してフーリエ変換を定義できる。

証明

省略する。

P4

f、g∈S() とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) F[f*g]=(2π)1/2F[f]F[g]

(2) F−1[f*g]=(2π)1/2−1[f]F−1[g]

(3) F−1[fg]=(1/2)−1/2−1[f]*F−1[g]

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

(1)と同様に計算できる。

(3)の証明

F=F−1[f]、G=F−1[g] とおく。

いま、F、G∈S() である。

また、f=F[F]、g=F[G] である。(※フーリエの反転公式)

よって、(1)より、fg=F[F]F[G]=(2π)−1/2F[F*G] である。

よって、F−1[fg]=(2π)−1/2F*G=(2π)−1/2−1[f]*F−1[g] である。

P5 ( 基本計算 )

a、b>0 とおく。

f(x)=exp(−ax)、g(x)=exp(−bx) とおく。

このとき、

証明

P2(フーリエの反転公式)、P4、P1より、