級数解法、エアリー微分方程式

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定義 ( 級数解 )

微分方程式の解で、巾級数で表されるものを 『 級数解 』 という。

解を巾級数の形で表して求める方法を 『 級数解法 』 という。

とくに、解析関数を係数にもつ(正規形)線形微分方程式は級数解法によって解ける。

定義 ( 解析的 )

f(x) を関数とする。

x=a の近傍で、f(x)=0≦k≦∞(x−a) と表せるとする。

このとき、「 f は x=a において解析的である 」 という。

参考 ( 項別微分 )

f(x) は x=a で解析的であるとする。

つまり、|x−a|<R で f(x)=0≦k≦∞(x−a) と表せるとする。

このとき、f(x) は同じ範囲で無限回微分可能である。

つまり、|x−a|<R で f’(x)=1≦k≦∞k(x−a)k−1 である。

さらに、|x−a|<R で f’’(x)=2≦k≦∞k(k−1)(x−a)k−2 である。

以上のことを 『 項別微分 』 という。

項別微分は微分積分学の基礎なので、証明は省略する。

参考 ( コーシーの評価式〜複素ver )

f(z)=0≦k≦∞ を複素巾級数とする。(★)

R を(★)の収束半径とする。

0<r<R に対し|f(z)|≦M ( |z|<r ) であるとする。

このとき、

証明

この定理は既知とする。

参考 ( コーシーの評価式〜実数ver )

y(x)=0≦n≦∞ を巾級数とする。(★)

(★)は|x|<R で絶対収束し、|x|≦R で連続であるとする。

このとき、ある M>0 が存在して、|y|<M/R となる。

証明

明らかである。(※参考:コーシーの評価式〜複素ver)

定義 ( 正則点 )

y’’(x)+P(x)y’(x)+Q(x)y(x)=0 を微分方程式とする。(★)

P と Q は x=a まわりでテイラー展開可能であるとする。

このとき、a を 『 (★)の正則点 』 という。

とくに、(★)が定数係数ならば、任意の点 x=a は正則点である。

P1 ( 級数解の解空間 )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を微分方程式とする。(★)

点 x=a を(★)の正則点とする。

これらは|x−a|<R で収束し、|x−a|≦R で連続であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) x と x を定めると、級数解 y(x)=0≦k≦∞(x−a) が定まる。

(2) (1)の級数解は|x−a|<R で収束する。

補足

つまり、(2)の形で解空間の基底を構成できる。

むろん、この解空間は2次元である。

補足

(1)は、x と x に対して x ( k≧2 ) が帰納的に定まることを意味する。

(1)の証明

P(x)=0≦k≦∞(x−a)、Q(x)=0≦k≦∞(x−a) を、テイラー展開とする。

a=0 と仮定しても、一般性を失わない。

いま、(★)は次のように表される。



上式左辺を変形して x の巾級数として表すと、



これが 0 となるから、



ただし、Q−1=0 と規約する。

(2)の証明

いま、ある M>0 が存在して、|P|、|Q|<M/R となる。(※参考:コーシーの評価式〜実数ver)

よって、(1)の証明で示した y の式より、



つまり、|y|≦Y である。

つまり、0≦n≦∞0≦n≦∞ の優級数である。

いま、



よって、



よって、



つまり、y(x)=0≦n≦∞ は|x|<R で絶対収束する。

つまり、y(x) はこの範囲で広義一様収束する。

つまり、y(x) は項別微分可能である。

よって、y(x) は(★)を満たす。

参考 ( y’(x)+y(x)=2x+3 の級数解法 )

y’(x)+y(x)=2x+3 を微分方程式とする。(★)

このとき、(★)の一般解は y(x)=Ce−x+1+2x である。

補足

よく知られているように、e−x=1−x/1!+x/2!−x/3!+・・・である。

つまり、上記の解は級数解と見なせる。

つまり、今回の問題の一般解は級数解であり、初等関数で表すことができる。

ただし、一般に級数解を初等関数で表せるとは限らない。

証明 ( 級数解による解法 )

まず、x=0 を中心とする級数解を求める。

y(x)=0≦n≦∞ とおく。

いま、y’(x)=1≦n≦∞nan−1 である。(※項別微分)

よって、(★)は、0≦n≦∞(a+(n+1)an+1)x=3+2x と表される。

両辺の係数を比較すると、次を得る。

(*1) a+a=3

(*2) a+2a=2

(*3) a+(n+1)an+1=0 ( n≧2 )

よって、



よって、



−1 を C とおくと、y(x)=Ce−x+1+2x である。

参考 ( y’−xy=0 の級数解法 )

y’−xy=0 を微分方程式とする。(★)

その一般解は、y=Cexp(x/2) である。

補足

むろん、この微分方程式は変数分離法によって簡単に解ける。

しかし、ここでは級数解法によって解く。

証明

y=0≦k≦∞ とおく。( つまり、y は(★)の x=0 まわりの級数解である )

これを(★)に代入する。

すると、1≦k≦∞kak−1−x0≦k≦∞=0 である。

よって、0≦k≦∞(k+1)ak+10≦k≦∞k+1=0 である。

つまり、a1≦k≦∞((1+k)ak+1−ak−1)x=0 である。

上式左辺の各係数は 0 である。

つまり、a=0 であり、(k+1)ak+1=ak−1 である。

よって、a=0、a=0、a=0、・・・ である。

また、a2k=(2k!)−1 である。

よって、y=0≦k≦∞=aexp(x/2) である。

参考 ( y’’−xy=0 の級数解法〜エアリー微分方程式 )

y’’−xy=0 を微分方程式とする。(★)

このとき、(★)の一般解は y=c3r、1(x)+c3r+1、2(x) である。

補足

ただし、y3r、1(x)、y3r+1、2(x) の意味は証明中で述べる。

補足

(★)を 『 エアリー微分方程式 』 という。

証明

y=0≦k≦∞ とおく。( つまり、y は(★)の x=0 まわりの級数解である )

これを(★)に代入する。

すると、2≦k≦∞k(k−1)ak−2−x0≦k≦∞=0 である。

よって、0≦k≦∞(k+2)(k+1)ak+20≦k≦∞k+1=0 である。

よって、2a1≦k≦∞((k+2)(k+1)ak+2−ak−1)x=0 である。

いま、上式左辺の各係数は 0 である。

よって、a=0 であり、(k+2)(k+1)ak+2=ak−1 である。

k=3r ( r=1、2、・・・ ) の場合、a3r−1=0 である。

k=3r+1 ( r=0、1、・・・ ) の場合、



k=3r+2 ( r=0、1、・・・ ) の場合、



=a=1 とすると、





いま、y3r、1(x)、y3r+1、2(x) は1次独立な解である。

また、y=c3r、1(x)+c3r+1、2(x) と表せる。