L2収束→パーセヴァルの等式

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定義 ( R[a、b] )

閉区間[a、b]上の複素数値リーマン可積分関数全体を R[a、b] と表す。

定義 ( C

閉区間 [a、b] 上の連続関数全体を C[a、b] と表す。

明らかに、C[a、b] はベクトル空間である。

定義 ( Cper、Cbdy

次のように定義する。

(*1) Cper[a、b]={ f∈C[a、b]|f(a)=f(b) }

(*2) Cbdy[a、b]={ f∈C[a、b]|f(a)=0、f(b)=0 }

とくに、f∈Cper[a、b] を 『 [a、b]上の周期関数 』 という。

明らかに、Cper[a、b] や Cbdy[a、b] は、C[a、b] の部分空間である。

むろん、Cper[0、1] と Cper[−1/2、1/2] は本質的に同じである。

定義 ( e

k を整数とする。

次のように定義する。

明らかに、e∈Cper[0、1] である。

実際、e(t+1)=exp(2πik(t+1))=exp(2πikt)exp(2πik)=exp(2πikt)=e(t)である。

むろん、eix=cosx+isinx である。

これは 『 オイラーの公式 』 として複素解析でよく知られている。

明らかに、|eix|=1である。

定義 ( 3角級数、3角多項式 )

(cn∈ を複素数列とする。

ここで、次のような式を考える。



これを 『 3角級数 』 という。

とくに、3角級数の和が有限和であるとき、これを 『 3角多項式 』 という。

定義 ( フーリエ級数、フーリエ係数 )

f∈R[0、1] とおく。

次のように定義する。



このとき、f(k) を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第 N 部分和 』 という。

また、limN→∞[f] を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] であるとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

上では積分範囲を[0、1]とした。

しかし、e−k∈Cper なので、積分範囲を [ −1/2、1/2 ] としても同じである。

Z1 ( 「離散的フェイエルの定理」の系 )

f∈Cper[0、1] とおく。

このとき、任意の ε>0 に対し、ある3角多項式 Pε(t) が存在して、次を満たす。

(*) 任意の t∈[0、1]に対し、|f(t)−Pε(t)|<εである。

補足

むろん、[0、1] を [−1/2、1/2] としてもよい。

証明

これの証明は前の章で扱っている。

ただし、これは道具として認めて使用できれば十分である。

フーリエ解析の書物では 『 Z1の証明 』 と 『 フーリエ級数の一様収束 』 を同時進行で扱うことが多い。

しかし、実際には、この2つは議論を切り離すことができる。

Z2

R[0、1] はベクトル空間である。

証明

f、g∈R[0、1] とおく。

c∈ とおく。

f+g:[0、1]→ を (f+g)(θ)=f(θ)+g(θ)で定義する。

cf:[0、1]→ を (cf)(θ)=c・f(θ)で定義する。

いま、f+g、cf∈R である。

よって、R[0、1] はベクトル空間である。

Z3 ( Lノルム )

f、g∈R[0、1] に対し、次のように定義する。



このとき、(・、・)は R[0、1] の内積にならない。

また、|| ・ || は R[0、1] のノルムにならない。

ただし、(f、f)=0 を満たす関数と零関数を同一視すれば、(・、・)を R の内積として扱うことができる。

すると、|| ・ || をノルムとして扱うことができる。

このとき、|| ・ || を 『 L ノルム 』 という。

証明

内積の公理は次の通りである。

(1) (f、f)≧0 ( (f、f)=0 ⇔ f=0 )

(2) (f、g)=(g、f)

(3) (cf、g)=c(f、g) ( c∈

(4) (f+g、h)=(f、h)+(f、g)

しかし、R[0、1]について(1)は成り立たない。

実際、(f、f)=0 から結論できることは 「 f が連続な点において 0 である 」 ということだけである。

つまり、(f、f)=0 から f=0 を結論することはできない。

ただし、結局、(f、f)=0 ⇒ f=0 が言えないというだけである。

そこで、(f、f)=0 を満たす関数と零関数を同一視すれば、(・、・)を R の内積として扱うことができる。

参考

f、g∈C[0、1]に対して次のように定義する。



このとき、(・、・)は C[0、1]の内積となる。

また、|| ・ || は C[0、1] のノルムとなる。

証明

明らかである。

参考

残念ながら、R[0、1] はヒルベルト空間ではない。

つまり、R[0、1] は || ・ || に関して完備ではない。

では、R[0、1] の完備化は何であろうか?

それがルベーグ2乗可積分全体 L[0、1] である。

ただし、ここではこれについては扱わない。

Z4

f∈R[0、1]とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) {en∈ は R[0、1] の正規直交系である。

(2) f(k)=(f、e

(1)の証明

計算すると、



(2)の証明

計算すると、

復習 ( Cbdy

bdy[a、b]={ f∈C[a、b]|f(a)=0、f(b)=0 } と定義する。

Z5 ( リーマン可積分関数をCbdyで近似する )

f∈R[0、1]とおく。

ある M>0 が存在して、[0、1]上で|f|≦M であるとする。

このとき、ある関数列 f∈Cbdy が存在して、次を満たす。

補足

証明は少し長いが、内容は非常に簡単である。

証明

f が実数値関数の場合について証明すれば十分である。

( 複素数値の場合は実部と虚部に分けて考えればよい )

ε>0 とおく。

0=x<x<・・・<x=1 を [0、1]の分割とする。

次のように定義する。



いま、明らかに、|g|≦M である。

一方、f はリーマン可積分である。

よく知られているように、リーマン可積分は階段関数の極限として定義される。

そこで、この階段関数によって f を近似できる。

つまり、次が成り立つようにできる。



( 分割を十分に小とすれば、過大評価と過小評価の差がεより小となるようにできるということである )

δ>0 を十分に小であるとする。

いま、区間[0、1]は次のように分けられる。

(*1) 分点 x、・・・、xN−1 のδ近傍 [ x−δ、x+δ]

(*2) x=0 の近傍[0、0+δ]

(*3) x=1 の近傍[1−δ、1]

(*4) 上の(*1)〜(*3)以外

上記の各区間に応じて、関数 h を次のように定義する。

(*1) ⇒ h(x±δ)=g(x±δ)を満たす1次関数

(*2) ⇒ h(0)=0 と h(0+δ)=g(0+δ)を満たす1次関数

(*3) ⇒ h(1)=0 と h(1−δ)=g(1−δ)を満たす1次関数

(*4) ⇒ h(x)=g(x)

g を実線、h を点線で図示すると、



いま、h は[0、1]上の連続関数である。

また、h(0)=h(1)=0 である。

よって、h∈Cbdy である。

また、[0、1] 上で|h|≦M である。

また、g と h の値が異なるのは(*1)〜(*3)の場合だけである。

つまり、N個の長さ2δの開区間だけである。

よって、



よって、δを十分に小とすれば、



いま、|f(x)−h(x)|≦|f(x)−g(x)|+|g(x)−h(x)|である。

よって、(**1)、(**2)より、



そこで、自然数 n に対し、2ε=1/n として得られる h を f と表す。

いま、f は定理の条件を満たす。

注意 ( ピタゴラスの定理 )

V を K 上の内積空間とする。

v、w∈V を、互いに直交するベクトルとする。

このとき、|| v+w ||=|| v ||+|| w || である。

証明

|| v+w ||=(v+w、v+w)=(v、v)+(v、w)+(w、v)+(w、w)である。

いま、(v、w)=0、(w、v)=0 である。

よって、|| v+w ||=(v、v)+(w、w)=|| v ||+|| w || である。

注意

ベクトル v と w が直交するとき、v⊥w と表す。

Z6 ( 最良近似 )

f∈R[a、b] とおく。

任意の複素数 c ( n=−N、・・・、N ) に対し、次が成り立つ。

(*) || f−S[f] ||≦|| f−−N≦n≦N ||

しかも、等号は任意の|n|≦N に対して c=f(n)となるときにのみ成り立つ。

証明

いま、S[f]=−N≦n≦N(n)e である。

また、f(n)=(f、e)である。(※Z4)

よって、任意の|n|≦N に対し、(f−−N≦n≦N(n)e)⊥e である。

よって、(f−−N≦n≦N(n)e)⊥−N≦n≦N である。

つまり、(f−S[f])⊥−N≦n≦N である。

ここで、α=f(n)−c とおく。

いま、f−S[f]+−N≦n≦Nα=f−−N≦n≦N である。

よって、|| f−S[f] ||+|| −N≦n≦Nα ||=|| f−−N≦n≦N || である。(※ピタゴラスの定理)

よって、|| f−S[f] ||≦|| f−−N≦n≦N || である。

Z7 ( L収束 )

f∈R[0、1] とおく。

このとき、|| f−S[f] ||→0 ( N→∞ ) である。

これを 『 L収束 』 という。

証明

つまり、

証明

ε>0 とおく。

いま、ある関数 g∈Cbdy[0、1] が存在して、次を満たす。(※Z5)



また、



( C は定数である )

一方、ある3角多項式 P(t)が存在して、|| g−P ||<εとなる。(※Z1)

よって、|| f−P ||≦|| f−g ||+|| g−P ||<Cεである。

よって、|| f−S[f] ||<Cεである。(※Z6:最良近似)

( ただし、P の次数が M ならば、N≧M であるとする )

Z8 ( パーセヴァルの等式 )

f∈R[0、1] とおく。

このとき、



つまり、



これを 『 パーセヴァルの等式 』 という。

証明

いま、{en∈ は R の正規直交系である。(※Z4)

また、S[f]=−N≦k≦N(k)e である。

また、f(k)=(f、e)である。(※Z4)

よって、任意の|n|≦N に対し、(f−−N≦k≦N(k)e)⊥e である。

よって、任意の複素数α−N、・・・、α に対し、(f−−N≦k≦N(k)e)⊥−N≦k≦Nα である。

つまり、(f−S[f])⊥−N≦k≦Nα である。

いま、f=f−−N≦k≦N(k)e−N≦k≦N(k)e である。

よって、|| f ||=|| f−−N≦n≦N(k)e ||+|| −N≦n≦N(k)e || である。(※ピタゴラスの定理)

いま、e は正規直交系である。

よって、|| −N≦k≦N(k)e ||−N≦k≦N|f(k)| である。

また、S[f]=−N≦k≦N(k)e である。

よって、|| f ||=|| f−S[f] ||−N≦k≦N|f(k)| である。

よって、|| f ||−∞≦k≦∞|f(k)| である。(※Z7:L収束)

Z9 ( 任意のフーリエ係数が 0 ならば f=0 である )

f∈C[−1/2、1/2] とおく。

任意の n∈ に対し、f(n)=0 であるとする。

このとき、f=0 である。

証明

まず、f が実数値関数である場合を考える。

t∈[−1/2、1/2]とおく。

f(t)≠0 と仮定する。(背理法)

t=0、f(0)>0 としても一般性を失わない。

いま、f は閉区間上で連続である。

よって、f は有界である。(※最大値の定理)

よって、ある M>0 が存在して、[−1/2、1/2]上で|f|≦M となる。

いま、f は点 0 で連続である。

よって、ある δ>0 が存在して、|t|<δ⇒ f(t)>f(0)/2 となる。

いま、εを十分に小さくとると、δ≦|t|≦1/4 ⇒ −1−ε/2≦cos2πt≦1−3ε/2 である。

ここで、P(t)=ε+cos2πt とおく。

いま、δ≦|t|≦1/4 ⇒|P(t)|≦1−ε/2 である。

また、ある 0<η<δが存在して|t|<η ⇒ P(t)≧1+ε/2 となる。

ここまでの内容を図示すると、



ここで、P(t)=P(t) とおく。

いま、



よって、



(*4)〜(*6)より、



一方、いま、仮定より、任意の k∈ に対し、f(k)=0 である。

よって、



(*7)と(*8)は矛盾する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、f が複素数値の場合について考える。

u と v を実数値関数として、f(t)=u(t)+iv(t)とおく。

いま、



また、(f(k)=f(−k) である。

よって、u、v のフーリエ係数はすべて 0 になる。(※定理の仮定)

よって、上の結果より、f(t)=0 である。

Z10

f∈Cper[0、1] とおく。

f のフーリエ級数が絶対収束するとする。

( つまり、−∞≦k≦∞|f(k)| <∞ であるとする )

このとき、S[f] は [0、1]上で f に一様収束する。

証明

仮定より、−∞≦k≦∞|f(k)| <∞ である。

よって、S[f] は [0、1]上で絶対かつ一様収束する。

しかも、各S[f] は連続である。

よって、limN→∞[f](t)は連続である。(※微分積分)

( 連続関数列の一様収束では、極限も連続関数になる。これは微分積分学でよく知られている )

ここで、g(t)=limN→∞[f](t)とおく。(★)

いま、



よく知られているように、無限級数が一様収束するならば、無限級数と積分は可能である。

よって、



よって、g(n)−f(n)=0 である。

よって、g−f=0 である。(※Z9)

補足

ここでは Z9 を用いて Z10 を示した。

一方、Z9 の代わりにパーセヴァルの等式を用いて示すこともできる。

ここで、パーセヴァルの等式を用いた証明を書いておこう。

上の証明で(★)以下の議論を次のように書き換えればよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、S(t)は g に一様収束する。

よって、|| S−g ||→0 である。

一方、|| S−f ||→0 である。(※パーセヴァルの等式)

よって、f=g である。

Z11 ( 2回連続微分可能 ⇒ 絶対かつ一様収束する )

f∈C[0、1] とおく。

f は2回連続微分可能であるとする。

このとき、S[f] は [0、1]上で f に絶対かつ一様収束する。

補足

2回連続微分可能とは、2回微分した後の関数が連続になるという意味である。

証明

n≠0 とする。

いま、



よって、



いま、f’’(t)は連続である。

よって、ある M>0 が存在して、∫|f’’(t)|dt<M となる。

よって、|f(n)|≦Mn−2 である。

しかも、1≦k≦∞−2<∞ である。

よって、−∞≦k≦∞|f(k)|<∞ である。

よって、定理が成り立つ。(※Z10)

参考

このページでは 『 2回連続微分可能 ⇒ 絶対かつ一様収束 』 を示した。

実は、さらに条件を弱くして 『 α次ヘルダー連続 ⇒ 絶対かつ一様収束 』 を示すこともできる。