ポアソン方程式(スカラーポテンシャル)、静電場マクスウェル方程式、クーロン電場

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参考 ( 静電場のマクスウェル方程式 )

静電場のマクスウェル方程式(積分形)は次のように表される。

上記の式を微分形で表すと、

参考 ( スカラーポテンシャルの存在条件、ベクトルポテンシャルの存在条件 )

(1) 任意のスカラー場φに対して ∇×(∇φ)=0 が成り立つ。

(2) ベクトル場 v が ∇×v=0 を満たすならば、あるスカラー場φが存在して v=∇φとなる。

(3) 任意のベクトル場 v に対して ∇・(∇×v)=0 が成り立つ。

(4) ベクトル場 v が ∇・v=0 を満たすならば、あるベクトル場 A が存在して v=∇×A となる。

補足

(2)は(1)の逆に相当する。

(4)は(3)の逆に相当する。

補足

以下の議論では(1)と(2)のみを使用する。

そこで、ここでは(1)と(2)のみを証明する。

(3)と(4)の証明は別ページで議論している。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

いま、∇×v=0 である。

また、∫・dr=∫(∇×v)・ndS である。(※参考ストークスの定理)

よって、∫・dr=0 である。

閉曲線 C 上の2点 A と B をとり、閉曲線 C を分割する。

いま、点 A から B に至る2つの経路 Γ と Γ がある。

つまり、C=Γ−Γ である。



つまり、∫・dr=∫Γ・dr−∫Γ・dr である。

よって、∫Γ・dr=∫Γ・dr である。

つまり、任意の2点をつなぐ ( v の ) 線積分は経路に依存しない。

そこで、位置ベクトル r から r に至る線積分を次のように表してよい。



始点の位置ベクトル r とし、任意の位置 r に至る線積分の値を φ(r) と表す。

つまり、



いま、



一方、φ(r+Δr)−φ(r)=∇φ・Δr である。

よって、v=∇φである。

P* ( 静電場マクスウェル方程式 ⇔ クーロン電場 ⇔ ポアソン方程式 )

次は同値である。

(1) 静電場のマクスウェル方程式

(2) クーロン電場(+重ね合わせの原理)

(3) ポアソン方程式(+静電ポテンシャル)

補足

それぞれ式で表すと、

(1)⇒(2)の証明

いま、一般に ∫・ndS=(1/ε)∫ρdV である。

目的としているクーロン電場は点電荷に関する主張である。

そこで、点電荷 q を中心とする半径 r の球面を閉曲面 S として選ぶ。

すると、4πr|E|=q/ε である。

ここで、E は E の ( 面 S に対する ) 法線成分である。

いま、電場 E は点電荷 q を中心として放射状であるとしてよい。(※球対称)

よって、|E|=|E|としてよい。

よって、4πr|E|=q/ε である。

つまり、



これでクーロン電場の式が得られた。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、重ね合わせの原理を示す。

∇・E=ρ、∇×E=0 であるとする。

∇・E=ρ、∇×E=0 であるとする。

いま、明らかに、∇・(E+E)=(ρ+ρ)/ε、∇×(E+E)=0 である。

つまり、重ね合わせの原理が示された。

(2)⇒(1)の証明

まず、点電荷 q から E に沿って放射状に延びる細長い四角錐を考える。

同じ向きに長さの異なる2つの四角錐を考える。

その2つの底面 S と S に囲まれた箱型の閉曲面 S を考える。



以下、S を内から外へ貫く E の流束を求める。

閉曲面 S の側面において E の ( S に対する ) 法線成分はない。

よって、S の側面を貫く E の流束は 0 である。

端面 S と S において E の法線成分は|E|である。

いま、|E|は点電荷からの距離 r の2乗で減少する。

また、球面の面積は距離 r の2乗で増加する。

よって、 S と S を貫く流束は打ち消し合って 0 になる。

以上により、∫・ndS=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、端面 S が傾いている場合を考える。

端面 S の法ベクトルが電場 E と成す角をθとする。



いま、単位面積を貫く流束は|E|cosθとなり、傾きがない場合に比べて減少する。

一方、端面 S の面積は 1/cosθ 倍で増加する。

以上により、流束は端面の傾きがない場合と同じである。

つまり、∫・ndS=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、点電荷 q を含まない任意の形状の閉曲面 S を考える。

このような閉曲面 S は上で議論した細長い閉曲面を合わせたものと見なせる。

よって、∫・ndS=0 である。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、点電荷 q を含む任意の形状の閉曲線 S を考える。

ここで、点電荷 q を中心として S の内部に含まれるような十分小さい球面 S を考える。



いま、S を貫く E の流束は 4πr・q/(4πε)=q/ε である。

ここで、S と S の間の空間は細長い箱型の領域に分割できる。

既に示したように、各箱型領域の端面の貫く E の流束は等しい。

よって、S を貫く E の流束は S を貫く E の流束に等しい。

つまり、∫・ndS=q/ε である。

以上をまとめると、

(*1) 閉曲面 S が点電荷 q を含まない場合は∫・ndS=0 である。

(*2) 閉曲面 S が点電荷 q を含む場合は∫・ndS=q/ε である。

つまり、1個の点電荷に対して静電場のマクスウェル方程式(M1)が導かれた。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一般の場合についてマクスウェル方程式の(M1)を導く。

ΓAB を、位置 r と r を結ぶ曲線とする。

いま、E は動径方向の成分のみをもつ。

よって、各微小区間 Δr=Δri//+Δri⊥ の動径成分 Δri// のみが線積分に寄与する。

よって、



つまり、クーロン電場における線積分の値は始点と終点によってのみ定まる。

つまり、クーロン電場における線積分の値は経路に依存しない。

閉曲線 C 上の任意の2点 A と B を選び、閉曲線を分割する。

つまり、点 A から点 B へ至る2つの経路 Γ と Γ を考えることができる。

つまり、C=Γ−Γ と表せる。



既に示したように、クーロン電場において線積分の値は経路に依存しない。

よって、∫Γ・dr=∫Γ・dr である。

よって、∫・dr=∫Γ・dr−∫Γ・dr=0 である。

つまり、1個の点電荷に対して静電場マクスウェル方程式の(M2)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一般の場合(電荷が複数個ある場合、電荷が連続的に分布している場合)について考える。

まず、N個の点電荷 q、・・・、q がある場合について考える。

その電場は E=E+・・・+E と表される。(※重ね合わせの原理)

むろん、閉曲面 S を貫く E の流束は∫・n=∫・ndS+・・・+∫・ndS である。

既に示したように、点電荷 q が閉曲面 S の内部にある場合、∫・ndS=q である。

また、点電荷 q が閉曲面 S の外部にある場合、∫・ndS=0 である。

以上により、∫・ndS=(閉曲面S内の全電荷)/ε である。

また、電荷が連続的に密度ρで分布している場合は∫・ndS=(1/ε)∫ρdV としてよい。

つまり、一般の場合について静電場のマクスウェル方程式(M1)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、∫・ndS=∫・ndS+・・・∫・ndS=0+・・・+0=0 である。

これは電荷が連続的に密度ρで分布している場合にも同様に成り立つ。

つまり、一般の場合について静電場のマクスウェル方程式(M2)が示された。

(1)⇒(3)の証明

いま、∇×E=0 である。

よって、あるスカラー関数φ(r)が存在して E=−∇φと表せる。(※参考:ポテンシャルの存在条件)(★)

つまり、静電ポテンシャルの存在が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、∇・E=ρ/ε である。

ここに、(★)を代入すると、∇・(−∇φ)=ρ/ε である。

つまり、∇φ=−ρ/ε である。

これでポアソン方程式が導かれた。

(3)⇒(1)の証明

いま、E=−∇φであり、∇φ=−ρ/ε である。

明らかに、∇・E=ρ/ε である。

つまり、静電場のマクスウェル方程式(M1)が導かれた。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

また、一般に、スカラー関数 f に対して次が成り立つ。



よって、∇×E=∇×(−∇φ)=0 である。

つまり、静電場のマクスウェル方程式(M2)が導かれた。