マクスウェル方程式のローレンツ共変性

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) 4元電流

(2) 4元ポテンシャル

(3) 電磁場テンソル

(4) マクスウェル方程式のローレンツ共変性

以下の議論では 『 テンソル 』 が登場する。

ただし、テンソルを知らない人はテンソルに関する議論を読みとばしてもよい。

復習 ( 0テンソル )

ある座標においてすべての成分が 0 であるテンソルがあるとする。

このようなテンソルは他の座標(x’)においてもすべての成分が 0 である。

証明

T’ij=bqm を(2、1)テンソルとする。

よって、Tqm=0 ならば T’ij=0 である。

補足

上記の議論は非常に簡単だが、次の議論で有用である。

復習 ( テンソルの式は座標に依存しない )

S、T を同じ形のテンソルとする。

ある座標(x)において Si・・・jp・・・q=Ti・・・jp・・・q であるとする。

このとき、他の座標(x’)においても S’i・・・jp・・・q=T’i・・・jp・・・q である。

証明

i・・・jp・・・q=Si・・・jp・・・q−Ti・・・jp・・・q とおく。

いま、U’i・・・jp・・・q=S’i・・・jp・・・q−T’i・・・jp・・・q である。

また、Ui・・・jp・・・q=0 である。

よって、U’i・・・jp・・・q=0 である。(※復習:0テンソル)

参考 ( 質量保存法則 )

(x、t)を流体の速度とする。

ρ(x、t)を質量密度とする。

このとき、

これは流体力学などでよく知られている式である。

この式を 『 連続の式 』 と呼ぶ本もある。

復習 ( 波動方程式の特殊解 )

次のような波動方程式を考える。



f(x、t)は領域 V の外で、つねに 0 をとるとする。

このとき、解として次を採用できる。

補足

以下の議論では次のように記号を定める。



この記号を 『 ダランベルシアン(ダランベリアン)』 という。

定義 ( 4元ベクトル )

x’=∧ をローレンツ変換とする。

ある量の、S系(x)における値を h とし、S’系(x’)における値を h’ とする。

h’=∧ が成り立つとする。

このとき、この量を 『 4元ベクトル 』 という。

定義 ( 4元速度、4元加速度、4元運動量 )

次のように定義する。







このとき、u を 『 4元速度 』 といい、a を 『 4元加速度 』 といい、P を 『 4元運動量 』 という。

復習 ( スカラーポテンシャルの存在条件、ベクトルポテンシャルの存在条件 )

(1) 任意のスカラー場φに対して ∇×(∇φ)=0 が成り立つ。

(2) ベクトル場 v が ∇×v=0 を満たすならば、あるスカラー場φが存在して v=∇φとなる。

(3) 任意のベクトル場 v に対して ∇・(∇×v)=0 が成り立つ。

(4) ベクトル場 v が ∇・v=0 を満たすならば、あるベクトル場 A が存在して v=∇×A となる。

補足

(2)は(1)の逆に相当する。

(4)は(3)の逆に相当する。

補足

(2)のφを 『 vのスカラーポテンシャル 』 という。

(4)の A を 『 vのベクトルポテンシャル 』 という。

P1 ( ポテンシャルの存在条件〜ゲージ条件なしver )

次は同値である。

証明

⇔の左側を仮定する。

いま、divB(x、t)=0 である。

よって、ある A(x、t)が存在して次を満たす。(※復習ベクトルポテンシャル)



つまり、



つまり、



よって、あるスカラーポテンシャルφ(x)が存在して次を満たす。(※復習:スカラーポテンシャル)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

⇔の右側を仮定する。

一般に、rot(gradφ(x))=0、div(rotv(x))=0 である。(※ベクトル解析の基本公式)

よって、



P2 ( ポテンシャルの存在条件〜ローレンツゲージver )

次は同値である。

補足

これはP1の右側に新しく条件を1つ追加したものである。

このように A やφに追加する条件を 『 ゲージ条件 』 という。

とくに、今回に追加された3つ目の条件式を 『 ローレンツゲージ 』 という。

補足

もしかしたら、

「 新しく条件が追加されているのに、同じように同値性が成り立つのはなぜ? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

これは復習(スカラーポテンシャル)や復習(ベクトルポテンシャル)のφやA の選び方に任意性があることによる。

詳しくは以下の証明で議論する。

証明

⇔の左側を仮定する。

η(x、t)を任意の関数とする。

次のように定める。





いま、





つまり、Aとφも、⇔右側の第1式と第2式を満たす。

つまり、⇔右側の第1式と第2式を満たす A とφは無数に存在する。

ここで、η(x、t)を次を満たすように定める。(※復習:波動関数の特殊解)



(*2)より、次のように計算できる。(※divgrad=∇



つまり、A とφ は、⇔右側の第3式を満たす。

以上により、⇔の左側から右側が示された。

むろん、右側から左側の導出は既に示した。(※P1)

P3 ( マクスウェル方程式をダランベルシアンで表示する )

ある A とφが存在して次を満たすとする。







このとき、

補足

つまり、次の手順(1)と(2)で E と B を求めることができる。

(1) 次を満たすφとAを求める。



(2) 上で求めたφとAを次式に代入する。

証明

⇔の左側を仮定する。

⇔の左側の第1式に(*2)を代入すると、



つまり、



ここで、仮定(*3)を代入すると、



つまり、



よって、



⇔左側の第2式に仮定(*1)と(*2)を代入すると、



一般に、rotrotA(x、t)=graddivA(x、t)−∇(x、t)である。(※ベクトル解析の基本公式)

よって、



さらに、仮定(*3)に注意すると、



つまり、



以上により、⇔の左側から右側が示された。

上記の議論を逆に辿ると、右側から左側を得る。

定義 ( 4元電流 )

(x、t)=(i、i、i)を電流とする。

これは i=ρ と表せる。

つまり、ρは(電荷が速度vで移動しているように視える慣性系Sにおける)電荷密度である。

ρを、電荷が静止して見える慣性系での電荷密度とする。

いま、



むろん、ρ>ρである。(※γ<1)

つまり、(Sから見て)ローレンツ収縮によって空間が縮むことで電荷密度が大きくなる。

次のように定義する。



このとき、j(x、t)を 『 4元電流 』 という。

明らかに、4元電流は4元ベクトルである。(※4元速度は4元ベクトル)

実際、jは4元速度は u=(γc、γv、γv、γv)の定数倍である。

S を慣性系とする。

S’を S に対して速度(v、v、v)で移動する慣性系とする。

ρを、S’において静止している電荷密度とする。

その4元電流は(ρc、0、0、0)である。

これをローレンツ変換すると、(γρc、γρv、γρv、γρv)である。

定義 ( 電磁場テンソル、4元ポテンシャル )

を4元電流とする。

次のように定義する。



これは次のように表せる。



このとき、fij を 『 電磁場テンソル 』 という。

また、A を 『 4元ポテンシャル 』 という。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

既に確認したように、E と B を求める土台として最初に次の式がある。(※P3補足)



第1式を次のように変形できる。(※c=1/(εμ))



4元電流によって表すと、



さらに、次の形にまとめられる。

(*)の証明

i=j の場合、fij=0 である。

i≠j の場合について考える。

いま、



よって、



4元ポテンシャルが4元ベクトルであることを確認する。

慣性系Sで見た電流を j とし、慣性系S’で見た電流を j’ とする。

既に確認したように、4元電流は4元ベクトルである。

つまり、ローレンツ変換によって j’=∧ と表せる。

よって、次のように表せる。(※復習:波動関数の特殊解)



つまり、A は4元ベクトルである。

P4 ( 交代テンソル )

(x)を(0、1)テンソル場(共変テンソル場)とする。

このとき、次の Bij は(0、2)テンソル場である。

証明

いま、次のように表せる。(※定義:(0、1)テンソル)



よって、



つまり、



(*1)−(*2)より、



つまり、Bij は(0、2)テンソルである。

P5

電磁場テンソルは(0、2)テンソル場である。

証明

既に確認したように、4元ポテンシャル A は4元ベクトルである。(※定義(4元ポテンシャル)の補足)

つまり、A は(1、0)テンソル(反変テンソル)である。

よって、A=ηij は(0、1)テンソル(共変テンソル)である。

よって、fij は(0、2)テンソルである。(※P4、定義:電磁場テンソル)

P6 ( マクスウェル方程式のローレンツ共変性 )

マクスウェル方程式は次式によって表せる。(★1)



また、この式によってマクスウェル方程式のローレンツ共変性が分かる。(★2)

(★1)の証明

マクスウェル方程式は、



まず、(*1)は、



また、(*2)は、



いま、





よって、(*3)や(*4)は、





(***)に注意して、(**1)〜(**4)をまとめると、

(★2)の証明

次を示せばよい。



第1式は次式から得られる。(※定義:電磁場テンソル)



第2式について考える。

いま、fpi は(2、0)テンソル場である。(※P5)

よって、その微分 ∂fpi/∂x は(2、1)テンソル場である。

よって、その縮約 ∂fpi/∂x は(1、0)テンソル場である。

一方、右辺の j’ は(1、0)テンソル場である。

つまり、第2式はテンソル場の等式である。

つまり、第2式は座標に依存せずに成り立つ。(※復習:テンソル場の式は座標に依存しない)

P7 ( 電場と磁場の変換則 )

S を慣性系とする。

S’を S に対して x 軸方向に速度 V で移動する慣性系とする。

このとき、

補足

一般の場合は次のように表される。



ただし、// は慣性系S’の進行方向に平行な成分を意味する。

また、⊥は慣性系S’の進行方向に垂直な成分を意味する。

つまり、E=E//+E であり、B=B//+B である。

以下では 「 x軸方向のローレンツ変換 」 を用いて証明する。

一般の場合を示すには、代わりに 「 一般のローレンツ変換 」 を用いればよい。

証明

次のように記号を定める。



次のように計算できる。(※P5)



よって、

参考 ( マクスウェル方程式のローレンツ共変性を計算で確認する )

既に、マクスウェル方程式がローレンツ共変であることは示した。(※P6)

ここではこれを具体的に計算で確認する。

証明

x軸方向のローレンツ変換について示せばよい。

つまり、次を示せばよい。



S系を、S’系から見て x’軸方向に速さ −V で移動している慣性系と見なす。

つまり、ローレンツ変換は、



よって、



以上により、







よって、



上の計算において (rotE+∂B/∂t) は rotE+∂B/∂t) の x 成分を意味する。

これで(*3)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、次のように計算できる。(※P7)





以上により、



これで(*2)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

4元電流(cρ、i、i、i)と(cρ’、i’、i’、i’)の変換は、



よって、



上の計算では cμ=1/(cε)に注意する。

これで(*1)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、



上の計算では 1/(cε)=cμに注意する。

また、



以上により、



これで(*4)が示された。