ポアソン方程式(ベクトルポテンシャル)、静磁場のマクスウェル方程式、ビオ・サヴァールの法則

サイトのTOP→理系インデックス





参考 ( 概要 )

次の手順で議論を進める。

(1) 「静磁場のマクスウェル方程式」⇔「ポアソン方程式(ベクトルポテンシャルver)+クーロンゲージ」

(2) 「静磁場のマクスウェル方程式」 の一般解として 『 ビオ・サヴァールの法則 』 を示す。

(3) 直線電流によって生じる磁場を2通りの方法で示す。

図示すると、

参考 ( 「真空の誘電率」と「真空の透磁率」の間に成り立つ関係 )

真空の誘電率εと真空の透磁率μの間に cμε=1 が成り立つ。

ここで、c は光速を意味する。

さらに、一般に、c’με=1 である。

ここで、c’は物質中の光の速度、μは物質の透磁率、εは物質の誘電率である。

参考 ( 静磁場のマクスウェル方程式 )

静磁場のマクスウェル方程式(積分形)は次のように表される。

静磁場のマクスウェル方程式(微分形)は次のように表される。

(M4)を 『 アンペールの法則 』 という。

参考 ( スカラーポテンシャルの存在、ベクトルポテンシャルの存在 )

(1) 任意のスカラー場φに対して ∇×(∇φ)=0 が成り立つ。

(2) ベクトル場 v が ∇×v=0 を満たすならば、あるスカラー場φが存在して v=∇φとなる。

(3) 任意のベクトル場 v に対して ∇・(∇×v)=0 が成り立つ。

(4) ベクトル場 v が ∇・v=0 を満たすならば、あるベクトル場 A が存在して v=∇×A となる。

定義 ( クーロンゲージ )

を磁場とする。

いま、あるベクトル A が存在して B=∇×A となる。(※参考:ベクトルポテンシャルの存在)

とくに、∇・A=0 をみたすものを 『 クーロンゲージ 』 という。

=∇×A をみたす A に任意性があることを確認しよう。

まず、一般に、スカラー場φに対して ∇×(∇φ)=0 である。

A’=A+∇φ とおく。

いま、∇×A’=∇×A である。

つまり、A’ と A は同じ磁場のベクトルポテンシャルである。

参考 ( ランダウゲージ )

を磁場とする。

を B のクーロンゲージとする。

とくに、A=(−(B/2)y、(B/2)x、0)を 『 ランダウゲージ(対称ゲージ)』 という。

既に確認したように、磁場のベクトルポテンシャルは任意性をもつ。

とくに、∇・A=0 をみたすものをクーロンゲージと呼ぶのであった。

ただし、クーロンゲージは一意ではない。

例えば、B=(0、0、B)について考えてみよう。

このとき、A(−(B/2)y、(B/2)x、0)、A=(0、Bx、0) は B のクーロンゲージである。

実際、明らかに、∇・A=0、∇・A=0 である。

参考 ( 基本計算 )

(1) ベクトル場 v(r)に対して ∇×(∇×v)=∇(∇・v)−∇×v である。

(2) 位置ベクトル r に対して ∇|r|=r/|r|である。

(1)の証明

地道に計算すればよい。

(2)の証明

次のように計算できる。

P1 ( ポアソン方程式〜ベクトルポテンシャルver )

静磁場のマクスウェル方程式を仮定すると、あるベクトル場 A が存在して次を満たす。



逆に、(1)〜(3)を満たすベクトル場 A が存在すれば、静磁場のマクスウェル方程式が満たされる。

補足

(3)を 『(ベクトルポテンシャルの)ポアソン方程式 』 という。

一方、∇φ=−ρ/ε を 『(スカラーポテンシャルの)ポアソン方程式 』 という。

実際、これらの式は同じ形をしていることが分かる。

スカラーポテンシャルのポアソン方程式の場合、電荷密度ρから静電ポテンシャルφを求めることができる。

ベクトルポテンシャルのポアソン方程式の場合、電流密度 j からクーロンゲージ A を求めることができる。

補足

(3)の解は次のように表される。



このことはポアソン方程式 ∇φ=−ρ/ε の解が次のように表されることから分かる。



つまり、(*2)のρを j/c に置き換えればよい。

補足

(*1)より、位置 r’ の微小体積 ΔV’にある電流密度 j(r’) が r につくるベクトルポテンシャルは、



ただし、Δsは電流の向きに沿う微小線分ベクトルである。

また、I は電流の大きさを意味する。

証明

いま、あるベクトル場 A が存在して B=∇×A となる。(※参考:ベクトルポテンシャルの存在)

いま、c∇×(∇×A)=j である。(※参考:静電場のマクスウェル方程式)

をクーロンゲージとすると、∇・A=0 である。

よって、∇×(∇×A)=∇(∇・A)−∇=−∇ である。(※参考:基本計算)

よって、∇=−j である。

P2 ( ビオ-サヴァールの法則 )

静電場のマクスウェル方程式の一般解は次のように表される。

補足

つまり、位置 r’ の微小体積 ΔV’にある電流密度 j(r’)が位置 r につくる磁場は、



ただし、Δs は電流の向きに沿う微小線分ベクトルである。

磁場の向きを図示すると、

証明

いま、Bのクーロンゲージは次のように表される。(※P1の補足)



両辺について回転(∇×)をとると、



∇× は r=(x、y、z)のみに作用し、r’=(x’、y’、z’)には作用しない。

ゆえに、上の計算のように ∇× と ∫ の順番を入れ替えてよい。

(r)の x 成分は、



ただし、上の計算では次のことを用いた。(※参考:基本計算)





(*)より、

参考 ( 直線電流によって生じる電場 )

無限に長い直線状の導線を電流 I が流れているとする。

直線から距離 a だけ離れた点 P における磁場は円周方向である。

また、その強さは、

補足

証明は2通り用意した。

証明〜その1(静磁場のマクスウェル方程式から求める)

直線電流を中心とする半径 a の円を C とする。

いま、∫・ds=2πaB である。

よって、B=μI/(2πr)である。(※静磁場のマクスウェル方程式)

証明〜その2(ビオ-サヴァールの法則)

電流の向きを z 軸とする。

ds を電流の向きに沿う微小線分ベクトルとする。

位置 r’ の電流素片 IΔs がつくる磁場は次のように表される。(※P2:ビオ-サヴァールの法則)



ds を r−r’ の成す角をθとする。



いま、a=|r−r’|sinθ である。

また、ds=dz である。

よって、|(r−r’)×ds|=|r−r’|ds・sinθ=adz である。(★1)

点 P の z 座標を z とする。

いま、z=z−a・tanθである。

よって、dz=adθ/sinθである。(★2)

よって、(★1)、(★2)より、