マクスウェル方程式(微分形式)

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要請 ( マクスウェル方程式〜積分形ver )

マクスウェル方程式(積分形)は次の4式から成る。

次のように表しても意味は同じである。

上記の式は電磁場が時間変化する場合を含めた式である。

むろん、電磁場が時間変化しない場合は次のように表せる。

参考 ( マクスウェル方程式〜微分形ver )

マクスウェル方程式(微分形)は次の4式から成る。

次のように表しても意味は同じである。

(M1)は、クーロンの法則やガウスの法則の一般化である。

(M2)は、ファラデーの法則の一般化である。

(M3)は、(M1)の磁力バージョンである。

(M4)は、アンペールの法則の一般化である。

上記の式は電磁場が時間変化する場合を含めた式である。

むろん、電磁場が時間変化しない場合は次のように表せる。

参考 ( ローレンツ力 )

ローレンツ力は次式によって表せる。

参考 ( 真空の誘電率 )

c を光速とする。

ε を真空の誘電率とする。

μ を真空の透磁率とする。

このとき、cεμ=1である。

定義 ( 境界 )

3次元の領域 D を考える。

この場合、D の境界 ∂D は、領域 D の表面を意味する。

つまり、∂D は閉曲面である。

例えば、球体の境界は球である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、2次元の領域 D を考える。

この場合、D の境界∂D は D の縁に相当する曲線を意味する。

つまり、∂D は閉曲線である。

例えば、2次元の円板の境界は円である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、1次元の領域 I を考える。( つまり数直線の区間である )

この場合、I の境界 ∂I は、区間の両端を意味する。

つまり、∂I は2つの点である。

例えば、1次元の区間 [a、b] や (a、b) の境界は点 a と点 b である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、曲面 S を考える。

この場合、S の境界 ∂S は、閉曲線を意味する。

例えば、茶碗型の曲面の境界は、円である。( つまり、茶碗の縁に相当する )

さらに、上記の境界には向きが与えられている。

ただし、向きを厳密に定義することは難しいので、簡単に述べる。

3次元領域 D の境界 ∂D の向きは 『 外向き 』 である。

1次元領域 I=[a、b] の境界 ∂I の向きは 『 a から b 』 である。

とくに、1次元については、∫∂I(df/dt)=f(b)−f(a) である。

つまり、

参考 ( ガウスの発散定理 )

D を の領域とする。

∂D を D の境界とする。( つまり、∂D は閉曲面である )

∂D は区分的に滑らかであるとする。

を ∂D の法ベクトル場とする。

:D を滑らかなベクトル場とする。

ただし、D は ∂D を含む領域である。

このとき、次が成り立つ。

証明

既知とする。(証明は別ページで扱っている)

参考 ( ストークスの定理 )

S を 内の曲面とする。

∂S を S の境界とする。( つまり ∂S は閉曲線である )

∂S は区分的に滑らかであるとする。

:D→ を滑らかなベクトル場とする。

ただし、D は S を含む領域である。

を S の法ベクトル場とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

ただし、∂S と n の向きは下図のようであるとする。

証明

既知とする。(証明は別ページで扱っている)

参考 ( グリーンの定理 )

φ、ψ:I→ を滑らかな関数とする。

つねに、ψ(x)>φ(x)であるとする。

D={(x、y)|φ(x)≦y≦ψ(x)}とおく。

∂D を D の境界とする。( つまり、∂D は平面曲線である )

f、g:D を滑らかな関数とする。

ただし、D は D を含む領域である。

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)は 『 微分積分学の基本定理 』 の2次元への拡張である。

(2)は 『 グリーンの公式 』 と呼ばれる。

証明

既知とする。(証明は別ページで扱っている)

P1 ( アンペールの法則 )

(r)を電流密度とする。

(r)を電流によって生じる磁場とする。

S を曲面とする。

∂S を S の境界とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

電場の時間変化がないとすると、次が成り立つ。(※要請:マクスウェル方程式〜積分形(M4))



一方、cμε=1 である。

よって、結論を得る。

参考

以下では微分形式を形式的に説明する。

形式的な説明から入るので、序盤は意味不明であるかもしれない。

しかし、読み進めていくうちに、これらの取り決めが有用であることが分かるであろう。

定義 ( 0次微分形式 )

次式を 『 0次微分形式(0-形式)』 という。

1変数 : f(x)

2変数 : f(x、y)

3変数 : f(x、y、z)

つまり、0-形式とは、通常の関数ことである。

定義 ( 1次微分形式 )

次式を 『 1次微分形式(1-形式)』 という。

1変数 : f(x)dx

2変数 : f(x、y)dx+g(x、y)dy

3変数 : f(x、y、z)dx+g(x、y、z)dy+h(x、y、z)dz

ここで、dx や dy は単なる記号と思ってよい。

これらは微分積分学でよく知られている 『 全微分 』 と同じである。

ただし、ここでは形式的に扱っているだけなので何も意味は付いていない。

注意

1-形式には通常の加法・減法を定義する。

つまり、同じ変数 ( dx や dy のこと ) の係数同士でのみ加法・減法を定義する。

定義 ( 2次微分形式 )

次式を 『 2次微分形式(2-形式)』 という。

1変数 : 0 のみ

2変数 : f(x、y)dx∧dy

3変数 : f(x、y、z)dy∧dz+g(x、y、z)dz∧dx+h(x、y、z)dx∧dy

記号 ∧ を 『 外積 』 または 『 ウェッジ積 』 という。

これは単なる記号と考えてよい。

ただし、次のようなルールを付ける。

定義 ( 3次微分形式 )

次式を 『 3次微分形式(3-形式)』 という。

1変数 : 0 のみ

2変数 : 0 のみ

3変数 : f(x、y、z)dx∧dy∧dz

4変数 : fdx∧dy∧dz+fdt∧dx∧dy+fdt∧dx∧dz+fdt∧dy∧dz

ただし、4変数では変数を(t、x、y、z)としている。

注意

3-形式の外積は次のルールを満たすとする。

(*) dx∧(dy∧dz)=(dx∧dy)∧dz=dx∧dy∧dz

これを 『 結合則 』 という。

注意

2-形式の外積は次のルールを満たすとする。

(*1) dx∧dx=−dx∧dx

(*2) adx∧(bdx+bdx+・・・)=adx∧dx+adx∧dx+・・・

(*3) (adx+adx+・・・)∧bdx=adx∧dx+adx∧dx+・・・

(*1) を 『 交代性 』 または 『 反対称性 』 という。

(*2)と(*3)を 『 分配則 』 という。

P2

次が成り立つ。

補足

定義(2次微分形式)で1変数が 「 0 のみ 」 となっているのは、この(1)が理由である。

(1)の証明

いま、dx∧dx=−dx∧dx である。(※交代性)

よって、dx∧dx=0 である。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

明らかである。

P3

ω=a11dx+a12dx+a13dx とおく。

ω=a21dx+a22dx+a23dx とおく。

ω=a31dx+a32dx+a33dx とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。

定義 ( 全微分 )

次式を 『 f の全微分 』 という。

1変数 : df=(df/dx)dx

2変数 : df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy

3変数 : df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy+(∂f/∂z)dz

つまり、f の微分は1-形式である。

定義 ( 外微分 )

ω=f(x、・・・、x)dxi1∧・・・∧dxik を n 変数 k 次微分形式とする。

次のように定義する。



つまり、



このとき、dωを 『 ωの外微分 』 という。

つまり、外微分は(k+1)形式である。

つまり、外微分 dω とは、ω の係数 f を df に置き換えたものである。

P4 ( 微分形式と grad、rot、div )

次が成り立つ。



補足

(1)の係数は、∇f になっている。

(2)の係数は、グリーンの公式に出てきたものと同じである。

(3)の係数は、F=(f、g、h)とおけば、∇×F である。

(4)の係数は、F=(f、g、h)とおけば、∇・F である。

(1)の証明

定義そのままである。

(2)の証明

計算すると、

(3)の証明

計算すると、

(4)の証明

計算すると、

P5 ( 静電場と静電磁を微分形式で表す )

既に確認したように、静電場と静電磁の基本法則は次のように表せる。(※参考:マクスウェル方程式〜微分形)



=(E、E、E)、B=(B、B、B)とおく。

次のようにおく。



また、次のようにおく。



このとき、次が成り立つ。

補足

ただし、これは微分形式で表しただけであって、本質的な意味はない。

微分形式で表すことによる本当の利点は、時間変化する電磁場で得られる。

証明

明らかである。(※P4)

P6 ( 電荷保存則、連続の方程式 )

S を 内の閉曲面とする。

D を S の内部の領域とする。

ρ(t、x、y、z)を電荷密度とする。

(t、x、y、z)を S から流れ出す電流密度とする。

このとき、次が成り立つ。



補足

つまり、∇・j>0 ならば ∂ρ/∂t<0 である。

つまり、電場の湧き出しがある場合には電荷密度は時間とともに減少する。

これは電荷保存則を意味する。

補足

(2)左辺は曲面 S から流れ出る電流を意味する。

(2)右辺の積分は全電荷を意味する。

つまり、(2)は I=−dQ/dt と表せる。

これは電流が流れ出ると電荷が減少することを意味する。

補足

とくに、(1)を 『 連続の方程式 』 と呼ぶこともある。

証明

参考(マクスウェル方程式〜微分形)の(M4)の両辺について発散を考えると、



(*)の左辺を計算すると、



(*)の右辺の第2項は次のように変形できる。(※参考マクスウェル方程式〜微分形(M1))



以上により、

(2)の証明

(1)の式を体積分し、ガウスの発散定理を適用すればよい。

参考

アンペールの法則は、電荷密度ρが時間に依存する場合には成り立たない。

証明

P1(アンペールの法則)を書くと、∫∂S・dr=μ・ndS である。

S を閉曲面とする。

いま、S に境界は存在しない。

よって、∫∂S・dr=0 である。

また、∫・ndS=∫∇・jdxdydz=−∫(∂ρ/∂t)dxdydz である。(※参考(ガウスの発散定理)、P6)

よって、∫(∂ρ/∂t)dxdydz=0 である。

しかも、これは任意の閉曲面について成り立つ。

よって、∂ρ/∂t=0 である。

これは矛盾である。

参考

いま上で述べたように、電荷密度ρが時間依存すると、アンペールの法則は成り立たない。

つまり、アンペールの法則を拡張した法則があるはずである。

つまり、P5の(*2)や(*4)の第2式を拡張した法則があるはずである。

そこで、次のことを要請する。

P7 ( マクスウェル方程式〜微分形式 )

ω=dt∧ω+ω と定義する。

ωρj=ωρ+dt∧ω と定義する。

ω=ω+dt∧ω と定義する。

このとき、次が成り立つ。



上式のベクトル解析の言葉で表すと、



上の(3)と(4)を 『 マクスウェル方程式 』 という。

(1)と(2)の証明

これは要請として採用する。

(3)と(4)の証明

実際に、(1)と(2)を計算すればよい。

例えば、dωを計算すると、



明らかに、上式右辺の最初の3項は∂B/∂t+∇×E と表せる。

また、最後の項は ∇・B である。

参考

上では P7 を要請として採用した。

しかし、これは少し唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、P7 の(1)と(2)、つまり、(3)と(4)は、P5(*1)〜(*4)を含んでいる。

これは明らかであろう。

むろん、これが矛盾してはならない。

そこで、ここではマクスウェル方程式が連続方程式と矛盾しないことを説明しよう。

P7(2)の両辺を外微分すると、dωρj=0 である。

ωρj の定義に注意して書き下すと、



これは連続の方程式である。