マクスウェルの方程式を微分形式で記述する

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参考

電磁気学の法則は 『 マクスウェルの方程式 』 と 『 ローレンツ力 』 によって記述される。

先にこれらの式をすべて書いておこう。

マクスウェルの方程式は4つの式から成る。

ローレンツ力は1つの式で記述される。

マクスウェルの方程式は、教科書によって少し表記が異なる場合がある。

例えば、係数が異なっていたり、積分の記号が少し異なっていたり、∇があったり、div があったりする。

これについてはこのページの下で補足しておく。

マクスウェルの方程式の意味について、詳しくは本編で解説する。

参考 ( 積分形 )

マクスウェルの方程式は次の4式から成る。

上記の式は電磁場が時間変化する場合を含めた式である。

電磁場が時間変化しない場合、次のように表せる。(※この書き換えは高校生でも分かるであろう)

参考 ( 微分形 )

マクスウェルの方程式は次の4式から成る。

これは参考(積分形)の内容を書き直しただけで、本質的な意味は同じである。

参考(積分形)から参考(微分形)を導くことは簡単だが、詳しくは本編で説明する。

(*1)は、クーロンの法則、ガウスの法則の一般化である。

(*2)は、ファラデーの法則の一般化である。

(*3)は、(*1)の磁力バージョンである。

(*4)は、アンペールの法則の一般化である。

詳しくは本編で扱う。

上記の式は電磁場が時間変化する場合を含めた式である。

電磁場が時間変化しない場合、次のように表せる。(※この書き換えは高校生でも分かるであろう)

参考 ( ローレンツ力 )

ローレンツ力は次式によって表せる。

参考 ( div、rot、∇・、∇× )

次の(*1)と(*2)は同じ意味である。

(*1) divF

(*2) ∇・F

次の(*3)と(*4)は同じ意味である。

(*3) rotF

(*4) ∇×F

このサイトでは(*1)と(*3)を用いてマクスウェルの方程式を表記する。

ただし、(*2)と(*4)を用いている書物もある。

参考 ( 真空の誘電率 )

c を光速とする。

ε を真空の誘電率とする。

μ を真空の透磁率とする。

このとき、cεμ=1である。

これを用いて、マクスウェルの方程式4番目の式を書き換えることもできる。

参考 ( 線積分の表記 )

C を閉曲線とする。

閉曲線とは、閉じた曲線のことである。

つまり、環状になった曲線のことである。

その線積分を表すとき、次のように表す場合がある。

ただし、必ずこのように書かなければならないというわけではない。

このサイトではこの表記は用いていない。

定義 ( 境界 )

例えば、3次元の領域 D を考える。

この場合、D の境界 ∂D は、領域 D の表面を意味する。

つまり、∂D は閉曲面である。

例えば、球体の境界は球である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、2次元の領域 D を考える。

この場合、D の境界∂D は D の周囲の曲線を意味する。

つまり、∂D は閉曲線である。

例えば、2次元の円板の境界は円である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、1次元の領域 I を考える。( つまり数直線の区間である )

この場合、I の境界 ∂I は、区間の両端を意味する。

つまり、∂I は2つの点である。

例えば、1次元の区間 (a、b) の境界は点 a と点 b である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、曲面 S を考える。

この場合、S の境界 ∂S は、閉曲線を意味する。

例えば、茶碗型の曲面の境界は、円である。( つまり、茶碗の縁に相当する )

境界の厳密な定義は、距離空間論や位相空間論などで与えられる。

ただし、以下の議論では上に書いた内容だけで十分である。

さらに、上記の境界には向きが与えられています。

ただし、向きを厳密に定義することは難しいので、簡単に述べます。

3次元領域 D の境界 ∂D の向きは 『 外向き 』 です。

2次元領域 D の境界 ∂D の向きは 『 反時計回り 』 です。( ただし図形を手前側から見る )

1次元領域 I の境界 ∂I の向きは 『 a から b 』 です。

とくに、1次元については、∫∂I(df/dt)=f(b)−f(a) である。

つまり、

定義 ( ベクトル場〜その1 )

A を の部分集合とする。

任意の点 p∈A に対し、点 p を始点とする 3 次元ベクトルを対応させる。

このような写像を 『 3次元ベクトル場 』 という。

定義 ( ベクトル場〜その2 )

A を の部分集合とする。

F:A→ を写像とする。

このような写像を 『 3次元ベクトル場 』 という。

注意

明らかに、定義(ベクトル場〜その1) と 定義(〜その2) は本質的に同じである。

参考

F(x、y、z)を3変数3次元ベクトル場としよう。

むろん、このとき、F=(F、F、F)と表せる。

は F の第1成分、F は F の第2成分、F は F の第3成分である。

ところで、いま、F の定義域は の部分集合である。

つまり、(x、y、z)は 内の点である。

この(x、y、z)が、パラメータ変換によって2変数(u、v)で表せるとしよう。

つまり、(x(u、v)、y(u、v)、z(u、z))と表せるとする。

最初、F(x、y、z)は、(x、y、z)を変数としていた。

しかし、いまは F は (u、v) を変数とする関数として表せる。

つまり、F(x(u、v)、y(u、v)、z(u、z))=G(u、v) と表せる。

F は3変数3次元ベクトル値関数で、G は2変数3次元ベクトル値関数である。

そして、F と G は、全く同じベクトル場を意味している。

定義 ( 曲面の単位法ベクトル場 )

S を 内の曲面とする。

n:S→ をベクトル場とする。

任意の x∈S に対し、ベクトル n(x) は S の面に対して垂直であり、単位ベクトルであるとする。

このとき、n を 『 単位法ベクトル場 』 という。

ただし、単位法ベクトル場は、曲面の片面に向きが揃っているとする。

図示すると、

定義 ( 曲線の単位接ベクトル場 )

C を 内の曲線とする。

T:C→ をベクトル場とする。

任意の x∈S に対し、ベクトル T(x) は C の接線であり、単位ベクトルであるとする。

このとき、T を 『 C の単位接ベクトル場 』 という。

定義 ( 接線線積分 )

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

F:Γ[a、b]→ をベクトル場とする。

つまり、F は曲線上に定義されたベクトル場である。

このとき、次のように定義する。



このとき、∫ΓF を 『 F の Γ に沿う接線線積分 』 という。

この積分値は曲線の速さに依存しないことが知られている。

より専門的な言葉で言えば 「 同値なパラメータに対して積分値は一意である 」 と言える。

なので、とくに、曲線Γは単位速さであるとしてよい。

つまり、つねに ||Γ’(t)=1|| であるとしてよい。

この場合、Γ’(t) は、曲線Γ上の単位接ベクトル場を意味する。

よって、接線線積分を次のように言い換えることができる。

(*1) 接線線積分とは 『 曲線上のベクトル場 』 と 『 曲線上の単位接ベクトル場 』 の内積の積分である。

そして、内積とは 『 一方のベクトル 』 を 『 もう一方のベクトル 』 に正射影して、積をとることを意味する。

つまり、各ベクトル F(Γ(t)) を、曲線の接線方向に正射影して、積をとることを意味する。

ただし、単位接ベクトル場であるから、積をとる操作は無意味である。

結局、接線積分を次のように言い換えることができる。

(*2) 接線線積分とは、各 F(Γ(t)) を、曲線の接線方向に正射影して積分したものである。

接線線積分を、単に 『 線積分 』 と呼ぶことも多い。

参考 ( 内積関数 )

F:I→ をベクトル値関数とする。

G:I→ をベクトル値関数とする。

F・G:I→ を (F・G)(t)=F(t)・G(t) で定義する。

このとき、F・G を 『 内積関数 』 という。

定義 ( 曲面積 )

D を の領域とする。

K を D の有界閉集合とする。

φ:D→ を曲面とする。

次のように定義する。



このとき、S[φ(K)] を 『 φ(K)の表面積 』 という。

|φ(u、v)×φ(u、v)|は、φ(u、v) と φ(u、v) が構成する平行四辺形の面積である。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

(u、v)∈D とおく。

Δu、Δv を十分に小として、(u+Δu、v)、(u、v+Δv)∈D とする。

いま、φ(u、v)、φ(u+Δu、v)、φ(u、v+Δv)∈ である。

その面積は次の2つのベクトルの外積である。

(*1) (x(u+Δu、v)−x(u、v)、y(u+Δu、v)−y(u、v)、z(u+Δu、v)−z(u、v))

(*2) (x(u、v+Δv)−x(u、v)、y(u、v+Δv)−y(u、v)、z(u、v+Δv)−z(u、v))

2変数のテイラー展開より、(*1)と(*2)は、次のように近似できる。

(*3) (x(u、v)、y(u、v)、z(u、v))Δu

(*4) (x(u、v)、y(u、v)、z(u、v))Δv

定義 ( grad )

f(x、y、z)を3変数実数値関数とする。

次のように定義する。



このとき、gradf を 『 f の勾配 』 という。

つまり、gradf は3変数3次元ベクトル値関数である。

参考 ( gradの物理的意味 )

grad は、その名前の通り、f の勾配を表している。

例えば、f(x、y、z)=x+3y+z とおく。

このとき、gradf=(2x、3、1)である。

2変数関数で考えるとさらに分かりやすいだろう。

例えば、f(x、y)=x+3y とおく。

このとき、gradf=(2x、3)である。

x 軸方向へ進むと、f の x 軸方向への傾きが増加していくことが分かる。

一方、y軸方向への傾きはつねに一定である。

定義 ( div )

F(x、y、z)をベクトル場とする。

いま、F=(F、F、F)と表せる。

次のように定義する。



このとき、divF を 『 Fの発散 』 という。

つまり、divF は3変数実数値関数である。

参考 ( divの物理的意味 )

div は、湧き出しを表している。

例えば、3次元空間の中に、ホースの出口だけがある場合を考えよう。

そして、ホースから水を撒き散らす。

div は、この水量の増大率を意味する。

例えば、F(x、y、z)=(x、3y、z)とおく。

これはベクトル場であることに注意しよう。

空間の各点にベクトルが張り付いている状況である。

いま、divF=2x+3+1=2x+4 である。

つまり、この点において、それだけ水が湧き出しているということである。

では、川のように、一定に流れる場合はどうなのか?

例えば、F(x、y)=(2、3)とおく。

つまり、無限の彼方から(2、3)で水が流れている。

いま、divF=0 である。

ただ流れているだけなので、水の湧き出しがない。

定義 ( rot )

F(x、y、z)をベクトル場とする。

いま、F=(F、F、F)と表せる。

次のように定義する。



このとき、rotF を 『 Fの回転 』 という。

つまり、rotF は3変数3次元ベクトル値関数である。

「 rot の式は覚えにくい 」 と感じる人がいるかもしれない。

右辺は、x、y、z の順番で抜けているのだと考えれば覚えやすいであろう。

また、微分に注目すれば、y→z、z→x、x→y で回転していることが分かる。

参考 ( rotの物理的意味 )

rot は、名前の通り、f の回転を表している。

例えば、定義式の右辺の第3成分に注目しよう。

∂F/∂x は、左回転する強さを意味する。

∂F/∂y は、右回転する強さを意味する。

図示すると、



結果として、∂F/∂x−∂F/∂y は z 軸まわりに F がどちらに回転するかを意味する。

参考

電磁気学では幾何学の理論を用いる。

しかし、幾何学の理論は厳密な証明が難しい場合が多い。

そこで、以下の議論では基本的に証明なしで幾何学の結果を紹介する。

ただし、証明なしであっても得られるものは多くあるであろう。

P1 ( ガウスの発散定理 )

D を の領域とする。

∂D を D の境界とする。( つまり、∂D は閉曲面である )

∂D は区分的に滑らかであるとする。

n を ∂D の法ベクトル場とする。

F:D を滑らかなベクトル場とする。

ただし、D は ∂D を含む領域である。

このとき、次が成り立つ。

証明

証明は省略する。

P2 ( ストークスの定理 )

S を 内の曲面とする。

∂S を S の境界とする。( つまり ∂S は閉曲線である )

∂S は区分的に滑らかであるとする。

F:D→ を滑らかなベクトル場とする。

ただし、D は S を含む領域である。

n を S の法ベクトル場とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

ただし、C と n の向きは下図のようであるとする。

証明

省略する。

P3 ( グリーンの定理 )

φ、ψ:I→ を滑らかな関数とする。

つねに、ψ(x)>φ(x)であるとする。

D={(x、y)|φ(x)≦y≦ψ(x)}とおく。

∂D を D の境界とする。( つまり、∂D は平面曲線である )

f、g:D を滑らかな関数とする。

ただし、D は D を含む領域である。

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)は 『 微分積分学の基本定理 』 の2次元への拡張である。

(2)は 『 グリーンの公式 』 と呼ばれる。

証明

証明は省略する。

P4 ( クーロンの法則 )

電荷 Q を原点に置く。

電荷 q の位置ベクトルを r とする。

このとき、電荷 q には次のような力が働く。



ただし、C は正の定数である。

これを 『 クーロンの法則 』 という。

また、F を 『 静電気力 』 という。

補足

Q と q が同符合ならば、F は 『 斥力 』 である。

Q と q が異符合ならば、F は 『 引力 』 である。

万有引力はつねに引力であったが、静電気力には斥力と引力がある。

証明

これは要請・実験的事実として採用する。

定義 ( 電場 )

電荷 Q を原点に置く。

次のように定義する。



このとき、E を 『 電場 』 という。

上の定義は少し唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

いま、原点に電荷 Q が置かれていることに注意しよう。

ここで、位置 r に電荷 q を置く。

すると、電荷 q には次の力が作用する。(※P4)



いま、Q は原点で固定されていて動かない。

よって、本質的に重要な量は q と r である。

そこで、E(r)=(CQ/r)・r/|r|とおく。

すると、F(r)=E(r)q となる。

無駄な部分がなくなるので都合がよい。

定義 ( 電束 )

E(r)を電場とする。

S を曲面とする。

次のように定義する。



これを 『 E の S を通る電束 』 という。

電束は電流ではないことに注意しよう。

上の定義は少し唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、E(r)を水流として考えてみよう。

ここでは、流速 v(r) の水流を考える。



また、曲面 S を網目状に分割する。

曲面を通過する水量は、各網目を通過した水量の合計である。

網目を十分小さくとれば、曲面 S の歪曲は近似的に無視できる。

時間 Δt の間に ( i 番目の ) 網目を通過する水量を考えよう。



むろん、流速 v(r) は上図のように真っすぐとは限らない。

ただし、Δt を十分小さくとれば、近似的に真っすぐであると考えてよい。

一般に、流速は面に対して垂直ではない。

だから、単位法ベクトルとの内積を考えることで、本質的な流速 v(r)・n(r) を考える。

あとは、面積と時間を掛ければよい。

つまり、単位時間に ( i 番目の ) 網目を通過する水量は、v(r)・n(r)ΔS である。

さらに、すべての網目について合計をとると、狽磨ir)・n(r)ΔS である。

さらに、極限をとると、lim|Δ|→0狽磨ir)・n(r)ΔS である。(★)

ちなみに、もし、S が xy 平面上の領域ならば、(★)は重積分の定義と同じである。

(★)は微分積分学でもよく知られている曲面の面積分である。

なので、∫v(r)・n(r)dS と表せる。

これは電束の定義と同じである。

P5 ( ガウスの法則〜その1 )

S を閉曲面とする。

S の内側に電荷 Q、・・・、Q があるとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

証明には P1(ガウスの発散定理)を用いる。

ただし、P1の仮定に注意する。

P1では、S の内側で、ベクトル場 F は滑らかであるとしている。

ところが、E(r)=(CQ/r)・r/|r|は原点で発散している。

だから、P1を直接に使用することはできない。

実際には、原点が S の内側にある場合と、外側にある場合で分けて計算する。

電荷 Q について計算すると、次のようになる。

(*1) 原点が S の内側にある場合 ⇒ ∫E・ndS=4πCQ

(*2) 原点が S の外側にある場合 ⇒ ∫E・ndS=0

とくに、(*2)は、原点以外で divE=0 となることによる。

結局、すべての総和をとると、∫E・ndS=1≦i≦N4πCQ である。

注意

P5の証明(*2)は S の外にある電荷は考慮しなくてよいことを意味する。

定義 ( 電流密度 )

位置 r 近くでの単位体積の電荷を 『 電荷密度 』 という。

この定義は直観的であり、厳密ではない。

厳密な定義では細かく分割して極限をとる。

P6 ( ガウスの法則〜その2 )

D を の領域とする。

∂D を D の境界とする。

ρ: を電荷密度とする。

このとき、S を貫く電束は次のように表せる。

証明

Q を S 内の電荷の総量とする。

点(x、y、z)での単位体積の電荷はρ(x、y、z)ΔxΔyΔz と表せる。

よって、



一方、∫E・ndS=4πCQ と考えてよい。(※P5)

よって、定理の式が成り立つ。

定義 ( 真空の誘電率 )

ε=(4πC)−1 と定義する。

このとき、ε を 『 真空の誘電率 』 という。

P7 ( ガウスの法則の微分形 )

次が成り立つ。

(*) divE=ρ/ε

証明

いま、∫divEdxdydz=∫4πCρdxdydz である。(※P6、P1)

よって、divE=4πCρ=ρ/ε である。

定義 ( ポテンシャル )

F(x、y、z)を3変数3次元ベクトル値関数とする。

ある実数値関数φ(x、y、z)が存在して、F=−gradφと表せるとする。

このとき、φを 『 F のポテンシャル 』 という。

P8 ( 電場はポテンシャルをもつ )

E: を電場とする。

ρ: を電荷密度とする。

次のように定義する。



このとき、E=−gradφとなる。

補足

つまり、φは E のポテンシャルである。

証明

省略する。

P9

E: を電場とする。

このとき、rotE=0 である。

証明

いま、E=−gradφと表せる。(※P9)

また、gradφ=(∂φ/∂x、∂φ/∂y、∂φ/∂z)である。(※定義:grad)

また、rotE=(∂E/∂y−∂E/∂z、∂E/∂z−∂E/∂s、∂E/∂x−∂E/∂y)である。(※定義:rot)

後は、代入して計算すればよい。

P10

磁荷 Q を原点に置く。

磁荷 q の位置ベクトルを r とする。

このとき、磁荷 q には次のような力が作用する。



ただし、C は正の定数である。

証明

これは要請・実験的事実として採用する。

定義 ( 静磁場 )

磁荷 Q を原点に置く。

次のように定義する。



このとき、B を 『 磁場 』 という。

定義 ( 真空の透磁率 )

μ=4πC とおく。

このとき、μ を 『 真空の透磁率 』 という。

P11

磁荷密度ρ はつねに 0 である。

証明

これは要請・実験的事実として採用する。

詳しくは次の参考を参照。

参考

よく知られているように、磁石はつねに N 極と S 極のペアとして存在する。

片方だけの粒子を 『 モノポール(磁気単極子)』 という。

ただし、現在のところ、モノポールはまだ見つかっていない。

理論的にはモノポールが存在する可能性はあるとされている。

しかし、ここでは磁石はつねに N 極と S 極でペアになっているとして議論する。

電荷の場合、+ と − は単独で存在できた。

だから、電荷密度は ρ>0 または ρ<0 となった。

しかし、磁荷の場合はつねに ρ=0 であると考えるのである。

つまり、点磁荷を考えると、点磁荷に作用する力は 0 になる。

だから、定義(点磁荷)で考えている力は仮想的なものである。

ここで、

「 では、磁力は存在しないのだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

繰り返しになるが、ここで述べているのは、点磁荷の場合には力が相殺されて 0 になるという意味である。

例えば、+ の点電荷 1 の隣に、絶対値が同じ大きさの − の点電荷 2 を置く。

ここから離れたところに、別の + の点電荷 3 を置く。

3 は、1 から斥力を受けるが、2 から引力を受ける。

結局、相殺されてしまう。

これと同じことである。

ただし、磁力を測ることはできる。

実際、磁石を用意すれば磁力を測定できる。

むろん、磁石もN極とS極をペアでもつ。

しかし、その周囲に砂鉄を撒くと、磁力線が現れることは理科で知られている。

つまり、スケールがあれば、N極とS極がペアで存在しても磁力を測定できる。

点磁荷の場合は、スケールが 0 なので、仮想的な磁力を考える。

P12

次が成り立つ。

(1) rotB=0

(2) divB=0

証明

既に、電場 E について次を示した。(※P7、P9)

(*1) rotE=0

(*2) divE=ρ/ε

全く同様にして、次が示される。(※P11)

(*3) rotE=0

(*4) divE=μρ=0

定義 ( 電流密度 )

単位時間に単位面積を通過する電荷の量を 『 電流密度 』 という。

P13 ( アンペールの法則 )

J(r)を電流密度とする。

B(r)を電流によって生じる磁場とする。

S を曲面とする。

∂S を S の境界とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

これは要請・実験的事実として採用する。

P14

J(r)を電流密度とする。

B(r)を電流によって生じる磁場とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) rotB=μ

(2) divB=0

(1)の証明

いま、∫B・dr=μJ・ndS である。(※P13)

一方、∫B・dr=∫rotB・ndS である。(※P2:ストークスの定理)

よって、∫rotB・ndS=μJ・ndS である。

よって、rotB=μJ である。

(2)の証明

明らかである。(※P12と同様)

参考

このページでは微分形式を形式的に説明する。

形式的な説明から入るので、序盤は意味不明であるかもしれない。

しかし、読み進めていくうちに。これらの取り決めが有用であることが分かるであろう。

定義 ( 0次微分形式 )

次式を 『 0次微分形式(0-形式)』 という。

1変数 : f(x)

2変数 : f(x、y)

3変数 : f(x、y、z)

つまり、0-形式とは、通常の関数ことである。

定義 ( 1次微分形式 )

次式を 『 1次微分形式(1-形式)』 という。

1変数 : f(x)dx

2変数 : f(x、y)dx+g(x、y)dy

3変数 : f(x、y、z)dx+g(x、y、z)dy+h(x、y、z)dz

ここで、dx や dy は単なる記号と思ってよい。

これらは微分積分学でよく知られている 『 全微分 』 と同じである。

ただし、ここでは形式的に扱っているだけなので何も意味は付いていない。

注意

1-形式には通常の加法・減法を定義する。

つまり、同じ変数 ( dx や dy のこと ) の係数同士でのみ加法・減法を定義する。

定義 ( 2次微分形式 )

次式を 『 2次微分形式(2-形式)』 という。

1変数 : 0 のみ

2変数 : f(x、y)dx∧dy

3変数 : f(x、y、z)dy∧dz+g(x、y、z)dz∧dx+h(x、y、z)dx∧dy

記号 ∧ を 『 外積 』 または 『 ウェッジ積 』 という。

これは単なる記号と考えてよい。

ただし、次のようなルールを付ける。

定義 ( 3次微分形式 )

次式を 『 3次微分形式(3-形式)』 という。

1変数 : 0 のみ

2変数 : 0 のみ

3変数 : f(x、y、z)dx∧dy∧dz

4変数 : fdx∧dy∧dz+fdt∧dx∧dy+fdt∧dx∧dz+fdt∧dy∧dz

ただし、4変数では変数を(t、x、y、z)としている。

注意

3-形式の外積は次のルールを満たすとする。

(*) dx∧(dy∧dz)=(dx∧dy)∧dz=dx∧dy∧dz

これを 『 結合則 』 という。

注意

2-形式の外積は次のルールを満たすとする。

(*1) dx∧dx=−dx∧dx

(*2) adx∧(bdx+bdx+・・・)=adx∧dx+adx∧dx+・・・

(*3) (adx+adx+・・・)∧bdx=adx∧dx+adx∧dx+・・・

(*1) を 『 交代性 』 または 『 反対称性 』 という。

(*2)と(*3)を 『 分配則 』 という。

P15

次が成り立つ。

補足

定義(2次微分形式)で1変数が 「 0 のみ 」 となっているのは、この(1)が理由である。

(1)の証明

いま、dx∧dx=−dx∧dx である。(※交代性)

よって、dx∧dx=0 である。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

明らかである。

P16

ω=a11dx+a12dx+a13dx とおく。

ω=a21dx+a22dx+a23dx とおく。

ω=a31dx+a32dx+a33dx とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。

定義 ( 全微分 )

次式を 『 f の全微分 』 という。

1変数 : df=(df/dx)dx

2変数 : df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy

3変数 : df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy+(∂f/∂z)dz

つまり、f の微分は1-形式である。

定義 ( 外微分 )

ω=f(x、・・・、x)dxi1∧・・・∧dxik を n 変数 k 次微分形式とする。

次のように定義する。



つまり、



このとき、dωを 『 ωの外微分 』 という。

つまり、外微分は(k+1)形式である。

つまり、外微分 dω とは、ω の係数 f を df に置き換えたものである。

P17 ( 微分形式と grad、rot、div )

次が成り立つ。



補足

(1)の係数は、gradf になっている。

(2)の係数は、グリーンの公式に出てきたものと同じである。

(3)の係数は、F=(f、g、h)とおけば、rotF である。

(4)の係数は、F=(f、g、h)とおけば、divF である。

(1)の証明

定義そのままである。

(2)の証明

計算すると、

(3)の証明

計算すると、

(4)の証明

計算すると、

P18 ( 静電場と静電磁を微分形式で表す )

既に示したように、静電場と静電磁の基本法則は次のように表せる。(※P7、P9、P14)



E=(E、E、E)、B=(B、B、B)とおく。

次のようにおく。



また、次のようにおく。



このとき、次が成り立つ。

補足

ただし、これは微分形式で表しただけであって、本質的な意味はない。

微分形式で表すことによる本当の利点は、時間変化する電磁場で得られる。

証明

明らかである。(※P17)

P19 ( 連続の方程式 )

S を 内の閉曲面とする。

D を S の内部の領域とする。

ρ(t、x、y、z)を電荷密度とする。

J(t、x、y、z)を S から流れ出す電流密度とする。

このとき、次が成り立つ。



これによって、次が成り立つ。

証明

n を S の外向きの法ベクトル場とする。

S 内部から流れ出す電荷は ∫J・ndS である。

S 内部の電荷は ∫ρdxdydz である。

この電荷の単位時間での減少量は、これを微分して−1倍したものである。

よって、



よって、微分と積分の順序交換により、



P1(ガウスの発散定理)を用いて変形すると、



よって、∂ρ/dt+divJ=0 である。

P20 ( ファラデーの法則 )

S を 内の曲面とする。

∂S を S の境界とする。

B(t、x、y、z)を磁場とする。

E(t、x、y、z)を B によって生じる電場とする。

このとき、次が成り立つ。



これによって次が成り立つ。

補足

もし、B が時間に依存しない場合、(2)は rotE=0 となる。

これは P9 の結果と一致する。

(1)の証明

これは要請・実験的事実として採用する。

(2)の証明

(1)より、次が成り立つ。(※P2:ストークスの定理)



よって、

P21

アンペールの法則は、電荷密度ρが時間に依存する場合には成り立たない。

証明

アンペールの法則を書くと、∫∂SB=μJ・ndS である。

S を閉曲面とする。

いま、S に境界は存在しない。

よって、∫∂SB・dr=0 である。

また、∫J・ndS=∫divJdxdydz=−∫(∂ρ/∂t)dxdydz である。(※P1、P19)

よって、∫(∂ρ/∂t)dxdydz=0 である。

しかも、これは任意の閉曲面について成り立つ。

よって、∂ρ/∂t=0 である。

これは矛盾である。

参考

いま上で述べたように、電荷密度ρが時間依存すると、アンペールの法則は成り立たない。

つまり、アンペールの法則を拡張した法則があるはずである。

つまり、P18の(*2)や(*4)の第2式を拡張した法則があるはずである。

そこで、次のことを要請する。

P22 ( マクスウェルの方程式 )

ω=dt∧ω+ω と定義する。

ωρJ=ωρ+dt∧ω と定義する。

ω=ω+dt∧ω と定義する。

このとき、次が成り立つ。



上式のベクトル解析の言葉で表すと、



上の(3)と(4)を 『 マクスウェルの方程式 』 という。

(1)と(2)の証明

これは要請として採用する。

(3)と(4)の証明

実際に、(1)と(2)を計算すればよい。

例えば、dωを計算すると、



明らかに、上式右辺の最初の3項は∂B/∂t+rotE と表せる。

また、最後の項は divB である。

参考

上では P22 を要請として採用した。

しかし、これは少し唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、P22 の(1)と(2)、つまり、(3)と(4)は、P18(*1)〜(*4)を含んでいる。

これは明らかであろう。

むろん、これが矛盾してはならない。

そこで、ここではマクスウェルの方程式が連続方程式と矛盾しないことを説明しよう。

P22(2)の両辺を外微分すると、dωρJ=0 である。

ωρJ の定義に注意して書き下すと、



これは連続の方程式である。