マクスウェル方程式(微分形)

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要請 ( マクスウェル方程式〜積分形 )

マクスウェル方程式は次の4式から成る。

定義 ( 勾配 )

φ(x、y、z)をスカラー場(3変数実数値関数)とする。

次のように定義する。



∇φ を gradφ と表すことも多い。

このとき、∇φ を 『 φの勾配 』 という。

つまり、∇φはベクトル場である。

定義 ( 発散 )

(x、y、z)を3次元ベクトル場(3変数3次元ベクトル値関数)とする。

=(v、v、v)とおく。

次のように定義する。



∇・v を div(v) と表すことも多い。

このとき、∇・v を 『 vの発散 』 という。

定義 ( 回転 )

(x、y、z)をベクトル場(3変数3次元ベクトル値関数)とする。

=(v、v、v)と表せる。

次のように定義する。



∇×v を rotv と表すことも多い。

このとき、∇×v を 『 vの回転 』 という。

微分に注目すれば、y→z、z→x、x→y で回転していることが分かる。

復習 ( ガウスの発散定理 )

(r)をベクトル場とする。

S を閉曲面とする。

(r)を S の法ベクトル場とする。

このとき、

復習 ( ストークスの定理 )

(r)をベクトル場とする。

C を閉曲線とする。

S を C を縁としてもつ曲面とする。

このとき、

P1 ( マクスウェル方程式〜微分形 )

マクスウェル方程式の微分形は次のように表される。

補足

(M1)は、空間の各点で電荷密度ρに比例して電場 E の湧き出しがあることを意味する。

(M3)は、空間の各点で磁場 B は湧き出しをもたないことを意味する。

補足

(M2)は、空間の各点でベクトル −∂B/∂t を軸として電場 E の循環が生じることを意味する。

(M4)は、空間の各点でベクトル j+∂E/∂t を軸として磁場 B の循環が生じることを意味する。

「 E の循環 」 と 「 −∂E/∂t の向き 」 は右ネジの関係である。

「 B の循環 」 と 「 j+∂E/∂t の向き 」 は右ネジの関係である。

(M1)と(M3)の証明

要請(マクスウェル方程式)を改めて書くと、



参考(ガウスの発散定理)を改めて書くと、



よって、



よって、

(M2)と(M4)の証明

要請(マクスウェル方程式〜積分形)を改めて書くと、





参考(ストークスの定理)を改めて書くと、



よって、





上の計算では時間微分を積分の中に入れた。

これはマクスウェル方程式では曲面 S が時間変化しないことによって正当化される。

以上により、



P2 ( 電荷保存則 )

S を閉曲面とする。

V を S の内部の領域とする。

ρ(t、x、y、z)を電荷密度とする。

(t、x、y、z) を S から流れ出す電流密度とする。

このとき、次が成り立つ。



補足

つまり、∇・j>0 ならば ∂ρ/∂t<0 である。

つまり、電場の湧き出しがある場合には電荷密度は時間とともに減少する。

これは電荷保存則を意味する。

補足

(2)左辺は曲面 S から流れ出る電流を意味する。

(2)右辺の積分は全電荷を意味する。

つまり、(2)は I=−dQ/dt と表せる。

これは電流が流れ出ると電荷が減少することを意味する。

補足

とくに、(1)を 『 連続の方程式 』 と呼ぶこともある。

(1)の証明

P1(マクスウェル方程式〜微分形)の(M4)の両辺について発散を考えると、



(*)の左辺を計算すると、



(*)の右辺の第2項は次のように変形できる。(※P1:マクスウェル方程式(M1))



以上により、

(2)の証明

(1)の式を体積分し、ガウスの発散定理を適用すればよい。