マクスウェル方程式(積分形)

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参考 ( 概要 )

マクスウェル方程式は次の4式から成る。

(M1)は、クーロンの法則やガウスの法則の一般化である。

(M2)は、ファラデーの法則(電磁誘導の法則)である。

(M3)は、(M1)の磁力バージョンである。

(M4)は、アンペールの法則の一般化である。

一見すると、上式は複雑に見えるかもしれない。

しかし、実際には次のように直観的に分かりやすい意味をもつ。







以下、(M1)〜(M4)の意味を1つずつ詳しく確認していく。

そのために、まずは 『 流束 』 と 『 循環 』 を定義する。

流束は 『 面積分 』 によって記述される。

循環は 『 線積分 』 によって記述される。

定義 ( 流束 )

(r) をベクトル場とする。

つまり、各位置 r にベクトル v が分布している。

まず、v に垂直な微小面積 ΔS を貫くとする。

このとき、|v|ΔS を 『 ΔSを貫く流束 』 という。

例えば、v=j ( 電流密度 ) とすると、|j|ΔS は ΔS を貫いて流れる電流の大きさを意味する。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、曲面 S 上での流束を定義しよう。

一般に、ベクトル場 v は曲面 S に垂直ではない。



そこで、v=v+v// と分解しよう。

ただし、v は v の法線成分(曲面Sに垂直な成分)である。

ただし、v// は v の接線成分(曲面Sに接する成分)である。

とくに、接線成分は流束に寄与しない。

よって、法線成分のみに注目すればよい。

つまり、曲面上の微小面積を貫く流束は|v|ΔS である。

ここで、曲面 S の単位法ベクトル場を n と表す。

つまり、n の大きさは1であり、各位置 r において n(r) は曲面 S に垂直である。



ここで、1つの位置 r を選んで注目しよう。

いま、|v|=v・n と表せる。



つまり、v は v の n への正射影として表せる。

結局、微小面積 ΔS を貫く流束は (v・n)ΔS と表せる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ここで、曲面 S を N 個に分割し、番号 i=1、・・・、N を付ける。

すると、曲面の湾曲は無視できるようになる。

よって、曲面 S 全体の流束は次のように表される。



これを積分記号で表すと、



これを 『 曲面 S を貫く流束 』 という。

上記のような積分を 『 面積分 』 という。

上では茶碗型の曲面を想定したが、これを閉曲面としてもよい。

定義 ( 循環 )

例えば、下図のように渦を巻いたベクトル場を考える。



このような渦巻きの度合いを定量的に表す方法を考える。

そのために、任意の閉曲線 C を考える。

閉曲線 C を微小な線分 Δs ( i=1、・・・、N ) に分割する。

ベクトル場のベクトルを v=v+v// に分割する。

ただし、v は曲線 C に対する v の法線成分である。

また、v// は曲線 C に対する v の接線成分である。

いま、v は渦巻きに寄与しない。

つまり、v// のみを考えればよい。

つまり、渦巻きの度合いは次のように表される。



ここで、Δs は、閉曲線の変位 Δr=ri+1−r として表せる。



すると、先ほどの式は次のように表せる。



これを積分記号で表すと、

以上で 「 流束 」 と 「 循環 」 を定義した。

次に、マクスウェル方程式の意味を確認していこう。

参考 ( M1 )

改めて、マクスウェル方程式(M1)を書くと、

上式左辺は閉曲面 S を貫く電場 E の流束を意味する。

上式右辺のρ=ρ(r)は位置 r における電荷密度を意味する。

また、∫ρdV はρを閉曲面 S で囲まれた体積で積分することを意味する。

つまり、∫ρdV は閉曲面 S 内部の全電荷を意味する。

つまり、(M1)は閉曲線 S を貫く電束が閉曲面内部の電荷によってのみ決まることを意味する。

参考 ( M2 )

改めて、マクスウェル方程式(M2)を書くと、

上式左辺は閉曲線 C に沿う E の循環を意味する。

上式右辺の ∫・ndS は曲面 S を貫く磁場 B の流束を意味する。

ただし、曲面 S は曲線 C を縁としてもつ。

また、循環と流束の向きは右ネジの関係になるようにとる。



とくに、右辺にマイナスが付いていることに注意しよう。

つまり、曲面 S を貫く磁場が増大すると、循環の負の向きに電場が発生する。

既に述べたように、これはファラデーの法則(電磁誘導の法則)である。

参考 ( M3 )

改めて、マクスウェル方程式(M3)を書くと、

上式左辺は 「 閉曲面 S を貫く磁場の流束 」 を意味する。

つまり、(M3)は閉曲面 S を貫く磁場の流束がつねに 0 であることを意味する。

これは中学の理科でも知られている。

実際、磁石はつねにN極とS極があり、一方のみを取り出すことはできない。

ゆえに、磁力線はつねに渦を巻く。

ゆえに、どのように閉曲面を選んでも流入と流出が打ち消し合い、正味で 0 となる。

参考 ( M4 )

改めて、マクスウェル方程式(M4)を書くと、

上式左辺は閉曲線 C に沿う磁場 B の循環である。

上式右辺第1項の ∫・ndS は曲面 S を貫く電流を意味する。

上式右辺の第2項は曲面 S を貫く電場 E の流束を意味する。

ただし、曲面 S は閉曲線 C を縁としてもつ。

また、循環と流束の向きは右ネジの関係となるようにとる。

つまり、上式は電流のまわりに磁場が生じることを意味する。

また、電場が増大すると、循環の正の向きに磁場が生じることを意味する。

参考 ( ローレンツ力 )

ローレンツ力は次のように定義される。

以下、マクスウェル方程式(とローレンツ力)から次を導く。

(1) クーロンの法則

(2) 直線電流から成る磁場

P* ( クーロンの法則 )

原点に点電荷 q を置く。

位置 r に点電荷 q を置く。

このとき、点電荷 q に対して次の力がはたらく。

補足

むろん、点電荷 q には逆向きの力 −F がはたらく。(※作用・反作用の法則)

証明

点電荷 q を中心とする半径 r の球を閉曲面 S とする。

すると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、電場は点電荷を中心とする球対称性をもつとしてよい。(※空間的な対称性)

つまり、電場は点電荷 q を中心として放射状である。

つまり、曲面 S に対する電場の接線成分は 0 である。

よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(M1)より、



ここに、(*1)と(*2)を代入すると、



つまり、



いま、点電荷 q は静止しているので v=0 である。

よって、参考(ローレンツ力)より、

P* ( 直線電流から成る磁場 )

十分長い直線状の導線を定常電流 I が流れているとする。

このとき、軸から距離 r だけ離れたところに生じる磁場の強さは、



また、磁場の向きは、電流の向きを右ネジの進む向きとする向きである。

補足

図示すると、

証明

いま、



また、



いま、定常電流を考えているので時間変化はない。

つまり、(M4)は、



ここに、(*1)と(*2)を代入すると、