マヨラナ表示(マヨラナスピノル、マヨラナ質量)

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) 「 マヨラナ質量 」 と 「 ディラック質量 」 の比較 ( ニュートリノ問題 )

(2) 「 マヨラナ条件 」 と 「 カイラル条件 」 の比較

復習 ( ディラック方程式 )

−|p−m=pμμ−m=0 を相対論的関係式とする。

むろん、pμ=(E、p)である。(※pμ=(E/c、p)に自然単位系を用いた)

相対論的関係式を因数分解すると、pμμ−m=(γνν+m)(γμμ−m)=0 を得る。

ここで、量子化 pμ→i∂μ を行う。

すると、(iγμμ−m)ψ(x)=0 と (iγμμ+m)ψ(x)=0 を得る。

ただし、この2つの式は物理的に等価である。

とくに、(iγμμ−m)ψ(x)=0 を 『 ディラック方程式 』 という。

ディラック方程式が成り立つためには{γμ、γν}=2ημν が成り立てばよい。

これを満たすγは一意ではない。

実際、γとして 『 ディラック表示 』、『 カイラル表示 』、『 マヨラナ表示 』 を採用できる。

また、これらの表示はいずれも(γ=γと(γ=−γ ( j=1、2、3 ) を満たす。

このページではマヨラナ表示を議論する。

復習 ( ディラック方程式のC変換不変性 )

ψ を反粒子とする。

ψ=Cψ=C(γψ) と表せるとする。(★1)

( 定義 ψ=ψγ を 『 ψのディラック共役 』 という )

ディラック方程式(荷電粒子ver)の荷電共役変換不変性を仮定する。(★2)

このとき、



条件(1)を満たす C は次のように表せる。

定義 ( カイラリティ )

ψをディラック粒子とする。

γをγ行列とする。( つまり{γμ、γν}=2ημν

いま、次のように表せる。



これを 『 カイラル分解 』 という。

また、γの固有値を 『 カイラリティ 』 という。

また、ψ=Pψを 『 右巻きスピノル 』 という。

また、ψ=Pψを 『 左巻きスピノル 』 という。

P3 ( カイラル分解の性質 )

ψ=Pψ+Pψをカイラル分解とする。

γをディラック表示と同じエルミート性をもつγ行列とする。

つまり、

(*1) {γμ、γν}=2ημν

(*2) (γ=γ

(*3) (γ=−γ ( j=1、2、3 )

このとき、

(1) ψ=Pψはカイラリティ+1に伴う固有状態である。

(2) ψ=Pψはカイラリティ−1に伴う固有状態である。

(3) γμ=Pγμ

(4) γμ=Pγμ

(5) (ψ=(ψ

(6) (ψ=(ψ

定義 ( γ

以下の議論ではγ=iγγγγと定義する。

明らかに、γ=γ である。

明らかに、γはγμ(μ=0、1、2、3)に対して反可換(γγμ=−γμγ)である。

明らかに、(γ=I と (γ=γ が成り立つ。

定義 ( マヨラナ表示 )

(iγμμ−m)ψ(x)=0 ( {γμ、γν}=2ημν ) をディラック方程式とする。

反交換関係{γμ、γν}=2ημνを満たすγとして次を採用できる。



これを 『 マヨラナ表示 』 という。

また、この m を 『 マヨラナ質量 』 という。

マヨラナ表示では(γ=γ と(γ=−γ (j=1、2、3) が成り立つ。

ただし、これはディラック表示やカイラル表示でも成り立つ。

マヨラナ表示γμ(μ=0、1、2、3)はいずれも純虚数行列である。

つまり、(γμ=−γμ である。

C を荷電共役行列とする。

つまり、C(γμ−1=−γμである。

マヨラナ表示の場合、C=−γ=C−1 を採用すればよい。(※(γμ=−γμ

定義 ( マヨラナ条件 )

あるスピノルψが存在してψ=(ψ) であるとする。

このようなψを 『 マヨラナ粒子(マヨラナスピノル)』 という。

条件 ψ=(ψ) を 『 マヨラナ条件 』 という。

つまり、マヨラナ粒子は 「 粒子と反粒子が一致する粒子 」 である。

マヨラナ粒子は電荷をもたない。

実際、ψとψは電荷の符号を逆にした方程式を満たす。

マヨラナ条件が成り立つためには電荷の項は0でなければならない。

P* ( マヨラナ粒子を左巻で表示する )

iγμμψ−mψ=0 をマヨラナ表示のディラック方程式とする。

ψ=(1/2)[ψ+(ψ] とおく。(★0)

ただし、ψ=Pψ である。

このとき、ディラック方程式を iγμμψ−m(ψ=0 と表せる。

証明

また、(★0)のように表せることを示す。

ψを(任意の)ディラックスピノルとする。

いま、2つのマヨラナスピノルψ(1)とψ(2)が存在してψ=ψ(1)+iψ(2) と表せる。

むろん、(ψ(1)=ψ(1) であり、(ψ(2)=ψ(2) である。

よって、ψ(1)=(1/2)[ψ+ψ] と ψ(2)=−(i/2)[ψ−ψ] を得る。

ここで、上の第1式のψとして左巻きカイラルスピノルψを採用する。

さらに、ψ(1)をψと表す。

すると、ψ=(1/2)[ψ+(ψ] である。

つまり、(★0)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ψ==Pψ+Pψをカイラル分解とする。

(★0)より、Pψ=(1/2)(ψ である。(※復習:カイラル分解の性質(5))(★1)

(★0)より、Pψ=(1/2)ψ である。(※復習:カイラル分解の性質(6))(★2)

ディラック方程式に左から P を採用させる。

すると、(★1)と(★2)より、0=P(iγμμψ−mψ)=iγμμψ−m(ψ である。

(★1)と(★2)の補足

もしかしたら、(★1)と(★2)が分からないという人がいるかもしれない。

まず、P は右巻を抜き出す演算子であることに注意しよう。

を右巻に作用させると何も変化しない。

を左巻に作用させると 0 になる。

また、(ψ は右巻である。(※復習:カイラル分解の性質(5))

よって、(★0)より、Pψ=(1/2)(ψ である。

参考 ( ディラック質量とマヨラナ質量 )

iγμ(∂μ+iqAμ)ψ−mψ=0 をカイラル表示のディラック方程式(荷電粒子ver)とする。

上式の両辺に左から P または P を作用させると、次を得る。(※復習:カイラル分解の性質)

(*1) iγμ(∂μ+iqAμ)ψ−mψ=0

(*2) iγμ(∂μ+iqAμ)ψ−mψ=0

この m を 『 ディラック質量 』 という。

質量 m=0 の場合、ψ と ψ は独立する。

質量 m≠0 の場合、ψ と ψ は混合する。

よって、ψが質量をもつためにはψ と ψ のカイラリティを両方もつことが必要である。

ただし、電荷をもたない場合は別の可能性がある。

実際、マヨラナ表示のディラック方程式 iγμμψ−m(ψ=0 は(マヨラナ)質量項をもつ。(※P*)

ニュートリノ ν は電荷をもたないことが知られている。

つまり、ニュートリノはマヨラナ質量をもつことが可能である。

ニュートリノはディラック質量をもつ(つまりνが存在する)のか。

ニュートリノはマヨラナ質量をもつのか。

この議論は現在(2017年)でも決着がついていない。

参考 ( カイラル条件とマヨラナ条件は両立しない )

カイラルスピノルにマヨラナ条件を追加することはできない。

ψを左巻きカイラルスピノルとする。

いま、(ψは右巻きである。(※復習:カイラル分解の性質)

よって、ψ≠(ψ である。

つまり、ψはマヨラナ条件を満たさない。