線積分の相互関係+微分形式の入口

サイトのTOP→理系インデックス





P1 ( 合成関数の微分法は温度上昇率で分かる )

f(x、y) を2変数関数とする。

(x(t)、y(t)) を xy 平面上の曲線とする。

このとき、曲線上での f の変化率は、

説明

f(x、y) を、xy 平面上の温度分布とする。

つまり、xy平面上では場所によって温度が変化する。

ある点が曲線 (x(t)、y(t)) 上を動くとする。

点が動くときの x 座標の変化率は、dx/dt である。

温度関数 f の x 軸方向の変化率は、∂f/∂x である。

よって、x 軸方向の温度の変化率は(dx/dt)・(∂f/∂x)である。

同様に、y 軸方向の温度の変化率は(dy/dt)・(∂f/∂y)である。

よって、df/dt=(dx/dt)・(∂f/∂x)+(dy/dt)・(∂f/∂y) である。

定義 ( 曲線の長さ )

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

次のように定義する。



このとき、LenΓ を 『 Γの長さ 』 という。

参考 ( 経路下の面積 )

D を の領域とする。

f:D→ を関数とする。

Γ:[a、b]→D を曲線とする。

いま、f(Γ(t)) は1つの実数値関数と見なせる。

むろん、これは f と Γ の合成関数として、f*Γ:[a、b]→ と見なせる。

つまり、f*Γは普通の1変数実数値関数である。

むろん、これに対して積分を考えることができる。

つまり、



これは下図のような意味になる。

参考 ( エネルギー差 )

上の説明では (f*Γ)(t) の積分を考えた。

むろん、(f*Γ)’(t) に対して積分を考えることもできる。

つまり、



これは何を意味するであろうか?

もし、f を山とすれば、これは、地点 a と地点 b の高低差を意味するであろう。

物理学では、f はポテンシャルとして現れることが多い。

その場合、積分値はエネルギー差を意味する。

定義 ( 線積分 )

D を の領域とする。

f:D→ を関数とする。

Γ:[a、b]→D を曲線とする。

次のように定義する。



このとき、∫Γf(x、・・・、x)ds を 『 f の線積分 』 という。

定義(線積分)は、定義(曲線の長さ)と参考(経路下の面積)の一般化である。

実際、f=1 ( つまり f はつねに値が 1 である )とすると、定義(線積分〜その1)は定義(曲線の長さ)に一致する。

また、曲線Γが単位速さであるとすると、定義(線積分)は定義(経路下の面積)に一致する。

少し言い方を変えると、定義(線積分)は、(f*Γ)(t) に || Γ’(t) || を重み付けしたものであると言える。

つまり、経路が同じであっても、Γの速さによって量が変化する。

ところで、いまのところ、参考(エネルギー差)は仲間外れである。

しかし、これも含めて一般化できる。

これが次の定義である。

定義 ( 接線線積分 )

D を の領域とする。

F:D→ をベクトル場とする。

Γ:[a、b]→D を曲線とする。

次のように定義する。



これを 『 F の ( Γに沿う ) 接線線積分 』 という。

F(Γ(t))・Γ’(t) は内積関数である。

つまり、F(Γ(t)・Γ’(t)) は実数値関数である。

参考 ( 微分形式への入口 )

(1) 定義(接線線積分)は定義(線積分)の一般化である。

(2) 定義(接線線積分)は参考(エネルギー差)の一般化である。

(1)の証明

定義(接線線積分)において t として弧長パラメータを考えると、これは定義(線積分)の特殊な場合となる。

(2)の証明

F:D→ をベクトル場とする。

Γ:[a、b]→D を曲線とする。

F=(F、・・・、F) とおく。

Γ=(Γ、・・・、Γ) とおく。

いま、Γ’=(Γ’、・・・、Γ’) とおく。

定義(接線線積分)は、



一方、f:D→ を関数とする。

参考(エネルギー差)は、



上の2式は同じ形をしている。

つまり、ベクトル場 F として、関数 f の偏微分を並べれば、両者は一致する。

よって、F や f は本質ではない。

本質は、n 個の実数値関数とΓ’の内積である。

そこで、次の記号を考える。(※ p、・・・、p は実数値関数 )



さらに、



参考(エネルギー差)は、p、・・・、p として ∂f/∂x、・・・、∂f/∂x を考えたものである。

定義(接線線積分)は、p、・・・、p として F、・・・、F を考えたものである。

この ω を 『 (形式的な)微分形式 』 という。

これで微分形式の有用性が少し伝わるであろう。

ただし、これは形式的な議論であって、微分形式の理論はさらに奥が深い。

定義 ( スチルチェス積分 )

D を の領域とする。

f、g:D→ を関数とする。

Γ:[a、b]→D を曲線とする。

Δ : a=t<t<・・・<t=b を [a、b] の分割とする。

ξ∈[tk−1、t] とおく。

|Δ|=max1≦k≦n(t−tk−1) とおく。

次のように定義する。



これを 『 スチルチェス積分 』 という。

むろん、(*)の積分が存在するか否かは f と g に依存する。

とくに、f が連続で、g*Γ が [a、b] 上で 『 有界変動 』 であれば十分である。

ただし、これは積分の存在性に関する議論であるから、ここでは省略する。

ここでは定義(スチルチェス積分)が定義(接線線積分)の一般化であることを示そう。

P2 ( スチルチェス積分は接線線積分の一般化 )

D を の領域とする。

f:D→ を連続関数とする。

g:D→ を C級関数とする。

Γ:[a、b]→D を C 級曲線とする。

このとき、線積分 ∫Γfdg が存在して、次が成り立つ。

補足

x∈ を x=(x、・・・、x) と表す。

を x(x)=x で定義する。

このような x を 『 座標関数 』 という。

g=x の場合について考えると、



つまり、スチルチェス積分は定義(接線線積分)の一般化である。

証明

Γ=(Γ、Γ) とおく。

いま、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Δ : a=t<t<・・・<t=b を [a、b] の分割とする。

ξ∈[tk−1、t] とおく。

いま、ある η∈[tk−1、t] が存在して、次を満たす。(※平均値の定理)



よって、ξ=η の場合、



いま、上式の右辺は、連続関数 f(Γ(t))(g*Γ)’(t)のリーマン和である。

よって、|Δ|→0 とすると、これは(*)の右辺に収束する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ξ が一般の場合について考える。

いま、f*Γ は一様連続である。

よって、|Δ|→0 のとき、η の場合のリーマン和との誤差はいくらでも小さくなる。

よって、この場合も、リーマン和(*)の右辺に収束する。

定義 ( 軸方向の線積分 )

D を の領域とする。

f:D→ を関数とする。

Γ:[a、b]→D を曲線とする。

Γ=(Γ、・・・、Γ) とおく。

次のように定義する。



このとき、∫Γfdx を 『 f の第 x 軸方向の線積分 』 という。

参考

既に述べたように、単位速さの曲線に対し、定義(線積分)は参考(経路下の面積)に一致する。

簡略化のため、3次元で図示すると、



一方、第 y 軸方向の線積分を考える。

これは曲線Γのグラフを yz 平面に射影して、符合を付けた面積の総和を意味する。

つまり、下図の灰色の部位を意味する。