なぜ量子力学に複素数が現れるのか?

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定義 ( 平面波 )

次のような正弦波を考える。



このとき、λを波長、Tを周期、A を振幅という。

ここで、k=2π/λ、ν=1/T、ω=2πν と定義する。

このとき、kを波数、νを振動数、ωを角振動数という。

ただし、1/λ を波数と呼ぶこともある。

明らかに、(*)は次のように表せる。



とくに、3次元の場合は、

明らかに、y(x、t+T)=y(x、t) である。

よって、T を周期と呼ぶことは自然である。

明らかに、y(x+λ、t)=y(x、t) である。

よって、λを波長と呼ぶことは自然である。

参考 ( 量子力学で複素数が現れる理由 )

量子力学において粒子の状態は 『 波 』 として記述される。

粒子の状態を記述する関数を 『 波動関数 』 という。

では、波動関数 ψ(x、t) は、具体的にどのように記述されるべきか?

素朴に考えると、ψ(x、t)=Asin(kx−ωt+θ) となるであろう。(★1)

しかし、物理学では関数を微分する場面が多くある。

よって、(★1)では、微分の度に関数の形が変化してしまうので不都合である。

実際、sin を微分すると cos に変化してしまう。

そこで、ψ(x、t)=Cexp(i(kx−ωt)) と表す。(★2)

ただし、C=Aexp(iθ) である。

この場合、関数を微分しても、関数の形は変化しない。

よって、量子力学の議論では、複素数 i が現れる。

ここで、

「 しかし、(★1)と(★2)は意味が異なるのでは? 」

「 複素数 i は何を意味しているのだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

おそらく、その原因は、質点の軌跡を関数によって視覚的に記述することに慣れていることにある。

例えば、力学では質点の軌跡を関数によって記述する。

そして、質点の軌跡とグラフは、視覚的に同一である。

さらに、通常、変数は t となっていて、動的にも視覚的に同一である。

しかし、数学的には、変数変換を行うことができる。

つまり、グラフの背後には、軌跡から離れた数学的な構造がある。

それと同じことである。

つまり、グラフと物理現象を数学的に一致させる必要はない。

詳しく言えば、必要な情報が関数に含まれていればよいのである。

では、量子力学において必要な情報とは何か?

むろん、それは次の事柄であろう。

(*1) 位置と時刻に対する振幅の大きさ

(*2) 波数 ( これは本質的に波長と同じ意味である )

(*3) 角振動数 ( これは本質的に周期と同じ意味である )

これらの情報を関数から取り出せればよい。

そもそも、量子現象は数学的に記述できない。

では、改めて、波動関数 ψ(x、t)=Aexp(i(kx−ωt)) に注目しよう。

明らかに、ここから(*1)〜(*3)の情報を得ることができる。

実際、時刻 t=0 で位置 x=0 で ψ(x、t) の振幅は 1 である。

また、言うまでもなく、波数は k であって、角振動数は ω である。

必要な情報を取り出せるのであるから、関数に複素数が含まれていることについては何も問題はない。