1次元熱伝導方程式、周期的境界条件、断熱的境界条件

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定義 ( フーリエ級数 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

次のように定義する。



このとき、S[f](x) を 『 f のフーリエ級数 』 という。

S[f](x)=f(x) が成り立つことを 「 f はフーリエ級数展開可能である 」 という。

定義 (フーリエ余弦級数、正弦級数 )

f:[0、L]→ をリーマン可積分関数とする。

次のように定義する。



このとき、Scos[f](x) を 『 フーリエ余弦級数 』 という。

また、Ssin[f](x) を 『 フーリエ正弦級数 』 という。

定義 ( 1次元熱伝導方程式 )

=κuxx ( κ>0 ) を偏微分方程式とする。(★)

ただし、u=u(x、t) である。

このとき、(★)を 『 1次元熱伝導方程式 』 という。

P1 ( 1次元熱伝導方程式〜周期的境界条件ver )

=κuxx ( κ>0 ) を1次元熱伝導方程式とする。(★)

u(x、0)=f(x) を初期条件とする。

u(0、t)=u(2L、t) を境界条件とする。

このとき、(★)の解は、

補足

境界条件 u(0、t)=u(2L、t) は 『 周期的境界条件 』 と呼ばれる。

これは熱伝導棒がリング状であることを意味する。

証明

u(x、t)=X(x)T(t) とおく。

これを(★)に代入すると、XT’=κX’’T である。

両辺を κXT で割ると、κ−1T’/T=X’’/X である。

いま、上式の左辺は t のみの関数であり、右辺は x のみの関数である。

よって、上式の両辺は定数である。

そこで、κ−1T’/T=X’’/X=λ ( 定数 ) とおく。

いま、

(*1) X’’−λX=0

(*2) T’−κλT=0

一方、X(0)=X(2L) である。(※境界条件)

よって、(*1)の一般解は、X(x)=Acos(nπL−1x)+Bsin(nπL−1x) である。( n=0、1、・・・ )

つまり、λ=−(nπL−1 の場合のみ、(*1)の解が存在する。

λ=−(nπL−1=−p の場合、(*2)の解は、T(t)=Cexp(−κpt) である。

よって、(★)の解として次を採用できる。



よって、(★)の解として次を採用できる。(※重ね合わせの原理)



また、初期条件より、



上式の右辺は f のフーリエ級数である。

よって、A と B はフーリエ係数である。

つまり、

参考 ( 具体例 )

断熱された長さ π のリング状の棒を考える。

u(x、0)=(π−x)x を棒の初期温度分布とする。

このとき、

補足

t→∞ とすると、u(x、t)→π/6 となる。

つまり、棒の温度は棒全体の温度の平均値に収束する。

証明

f(x)=(π−x)x とおく。

次のように展開できる。(※フーリエ級数)



よって、P1より、

P2 ( 1次元熱伝導方程式の解〜斉次境界条件ver )

=κuxx ( κ>0 ) を1次元熱伝導方程式とする。(★)

u(0、t)=u(L、t)=0 を境界条件とする。

このとき、(★)の解は次のように表せる。



とくに、初期条件が u(x、0)=f(x) の場合、



とくに、初期条件が u(x、0)=T ( 定数 ) の場合、

補足

exp(−λκt) は時間経過による温度減少を表す因子である。

(1)の証明

u(x、t)=X(x)T(t) とおく。

これを(★)に代入すると、X(x)T’(t)=κX’’(x)T(t) である。

つまり、X’’(x)/X(x)=κ−1T’(t)/T(t) である。

上式の左辺は x のみの関数であり、右辺は t のみの関数である。

よって、これは定数である。

そこで、X’’(x)/X(x)=κ−1T’(t)/T(t)=λ ( 定数 ) とおく。

いま、

(*1) X’’(x)−λX(x)=0

(*2) T’(t)−λκT(t)=0

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

λ>0 の場合。

いま、(*2)の一般解は、T(t)=Aexp(λκt) である。

よって、t→∞ で u(x、t)→∞ となる。

これは不適である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

λ=0 の場合。

いま、(*1)の一般解は、X(x)=Ax+B である。

また、A=B=0 である。(※境界条件)

よって、u(x、t)=0 である。

これは不適である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

λ<0 の場合。

λ=−p とおく。

いま、(*1)の一般解は、X(x)=Acos(λx)+Bsin(λx) である。

また、(*2)の一般解は、T(t)=Cexp(−λκt) である。

よって、u(x、t)=Cexp(−λκt)(Acos(λx)+Bsin(λx)) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、u(0、t)=ACexp(−λκt)=0 である。(※境界条件)

C=0 とすると、恒等的に u=0 となるので不適である。

よって、A=0 である。

一方、u(L、t)=Cexp(−λκt)Bsin(λL)=0 である。(※境界条件)

B=0 とすると、恒等的に u=0 となるので不適である。

よって、sin(λL)=0 である。

よって、λ=λ=nπ/L ( n は整数 ) である。

ここで、D=BC とおく。

以上により、u(x、t)=Dexp(−λκt)sin(λx) と表せる。

よって、解は u(x、t)=1≦n≦∞exp(−λκt)sin(λx) と表せる。(※重ね合わせの原理)

ただし、n=0 の場合は u(x、t)=0 となるので除外した。

また、n が負の場合は、正の場合と1次独立ではないので除外した。

(2)の証明

(1)より、(★)の解は、u(x、t)=1≦n≦∞exp(−λκt)sin(λx である )

いま、u(x、0)=1≦n≦∞sin(λx)=f(x) である。

上式は f(x)=T のフーリエ級数展開を意味する。

また、A は f のフーリエ級数である。

よって、次が成り立つ。(※定義:フーリエ正弦級数)

(3)の証明

(2)において f(x)=T とすると、



よって、

P3 ( 1次元熱伝導方程式〜断熱境界条件ver )

=κuxx ( κ>0 ) を1次元熱伝導方程式とする。(★)

(0、t)=u(L、t)=0 を境界条件とする。

u(x、0)=f(x) を初期条件とする。

このとき、(★)の解は、

証明

u(x、t)=X(x)T(t) とおく。

P2 の場合と同様に、X(x)=Acos(λx)+Bsin(λx)、T(t)=Cexp(−λκt) を得る。

いま、u(0、t)=λB・T(t)=0 である。

よって、B=0 である。

また、u(L、t)=−λA・T(t)sin(λL)=0 である。

よって、λ=nπ/L ( n は整数 ) である。

=AC とおく。

いま、u=Aexp(−λκt)cos(λx) である。

よって、u(x、t)=0≦n≦∞exp(−λκt)cos(λx)である。(※重ね合わせの原理)

ただし、今回は n=0 の場合に u(x、t)≠0 なので、n=0 の場合を除外できない。

上式のままでもよいが、フーリエ級数と対比するため、A を A/2 に置き換える。

すると、u(x、t)=A/2+1≦n≦∞exp(−λκt)cos(λx)である。

いま、u(x、0)=A/2+1≦n≦∞cos(nπL−1x)=f(x) である。(※初期条件)

上式は f(x) のフーリエ余弦級数展開である。

よって、

P4 ( 1次元熱伝導方程式〜非斉次ver )

=κuxx+g(x、t) ( κ>0 ) を1次元熱伝導方程式とする。(★)

(0、t)=u(L、t)=0 を境界条件とする。

u(x、0)=f(x) を初期条件とする。

このとき、(★)の解は、

補足

g(x、t) は 『 棒内部に熱源がある場合 』 や 『 外部から熱を加えられる場合 』 を意味する。

例えば、電線に電気を流すと、電気抵抗によって電線内部で熱が発生する。

証明

g(x、t)=0 ( 定数 ) の場合、解は u(x、t)=1≦n≦∞exp(−λκt)sin(λx) と表される。(※P2)

ここで、exp(−λκt)は時間経過による温度の現象を表す因子である。

しかし、今回は内部に熱源があるので、これとは異なった式になると予想される。

そこで、Aexp(−λκt)の部分を A(t) に置きなおす。(定数変化法)

つまり、1≦n≦∞(t)sin(λx) である。(★★)

いま、(★★)は境界条件を満たしている。

f(x) と g(x、t) をフーリエ正弦級数展開すると、



上式を、(★)や初期条件に代入すると、

(*1) 1≦n≦∞(A’(t)+λκT(t)−b(t))sin(λx)=0

(*2) 1≦n≦∞(A(0)−a)sin(λx)=0

よって、A’(t)+λκT(t)−b(t)=0、A(0)=a である。

つまり、これは常微分方程式(1階線形微分方程式)である。

よって、

P5 ( 1次元熱伝導方程式〜非斉次境界条件ver )

=κuxx ( κ>0 ) を1次元熱伝導方程式とする。(★)

(0、t)=g(t)、u(L、t)=g(t) を境界条件とする。

u(x、0)=f(x) を初期条件とする。

(1) u(0、t)=g(t)=T、u(L、t)=g(t)=T が定数の場合、この問題は P2 に帰着される。

(2) 一般の場合、この問題は P3 に帰着される。

(1)の証明

まず、g(t)=T、g(t)=T が定数である場合について考える。

いま、u(x、∞)=L−1(T−T)x+T になると予想される。

( むろん、u(x、∞)は定常状態を意味する )

U(x、t) を、(★)の解 u(x、t) から u(x、∞) を除いた解とする。

つまり、u(x、t)=U(x、t)+L−1(T−T)x+T である。

これを、(★)に代入すると、U=κUxx である。

また、U(0、t)=0、U(L、t)=0 である。(※境界条件)

また、U(x、0)=f(x)−L−1(T−T)x−T である。(※初期条件)

つまり、P2(1次元熱伝導方程式〜斉次境界条件ver)に帰着された。

(2)の証明

(1)と同様に、u(x、t)=U(x、t)+L−1(g(t)−g(t))x+g(t) とおく。

これを(★)に代入すると、



また、U(0、t)=0、U(L、t)=0 である。(※境界条件)

また、U(x、0)=f(x)−L−1(g(0)−g(0))x+g(0) である。(※初期条件)

つまり、P3(1次元熱伝導方程式〜非斉次ver)に帰着された。

P6 ( 1次元熱伝導方程式〜境界条件∂/∂x ver )

=κuxx ( κ>0 ) を1次元熱伝導方程式とする。(★)

u(0、t)=0、u(L、t)+hu(L、t)=0 を境界条件とする。

u(x、0)=f(x) を初期条件とする。

このとき、(★)の解は、

補足

例えば、棒の上端 ( x=0 ) の温度を 0 に固定する。

さらに、下端 ( x=L ) を、温度 0 の水に接触させる。

棒の下端と水の温度差を u(L、t)−0 とすると、それに比例した熱が棒から水に流れる。

そこで、その係数を h とすると、−u(L、t)=hu(L、t) である。

証明

u(x、t)=X(x)T(t) とおく。

これを(★)に代入すると、

(*1) X’’(x)+λX(x)=0

(*2) T’(t)+λκT(t)=0

いま、(*1)の一般解は、X(x)=Acos(λx)+Bsin(λx) である。

また、(*2)の一般解は、T(t)=Cexp(−λκt) である。

また、u(0、t)=A・T(t)=0 である。(※境界条件)

よって、A=0 である。

また、u(L、t)+hu(L、t)=T(t)B(λcos(λL)+hsin(λL))=0 である。(※境界条件)

よって、tan(λL)=−λ/h である。

ただし、この λ を解析的に求めることはできない。( 計算機を用いて数値解を求めることはできる )

そこで、ここでは λ を具体的に求めることはしない。

=BC とおく。

以上により、u(x、t)=Aexp(−λκt)sin(λx) である。

よって、u(x、t)=1≦n≦∞exp(−λκt)sin(λx) と表せる。

いま、1≦n≦∞sin(λx)=f(x) である。(※初期条件)

ただし、上式の左辺は f(x) のフーリエ級数ではない。(※λ=nπ/Lではないことに注意 )

むろん、A はフーリエ係数ではない。

そこで、別の方法で A を求める。

まず、上式の両辺に sin(λx) を掛けて積分すると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、(*1)の左辺について n=m の項を考える。

いま、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、(*1)の左辺について n≠m の項を考える。

(x) を、λ に対応する X(x) とする。

(x) を、λ に対応する X(x) とする。

( 今回の場合、X=Bsin(λx)、X=Bsin(λx) である )

いま、X’’=−λ、X’’=−λ である。

よって、X’’X−X’’X=(λ−λ)X である。(★★)

よって、



よって、(★★)より、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)〜(*3)より、