ニュートンの法則、運動量保存則、万有引力と重力の違い

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参考 ( ニュートンの法則 )

ニュートンの法則(ニュートンの第1法則〜第3法則)は、力学において基本的である。

実は、これらの法則に対して、いずれも2通りの解釈を付けることができる。

なので、参考書によっては書き方が少し異なる場合がある。

これによって入門者が道に迷うこともあるであろう。

そこで、このページではニュートンの法則を徹底的に議論する。

まずは、ニュートンの第1法則〜第3法則を一通り述べる。

要請1 ( ニュートンの第1法則 )

宇宙には慣性座標系が(少なくとも1つ)存在する。

ただし、慣性座標系とは、慣性の法則が成り立つ座標系を意味する。

慣性の法則とは 「 物体に力が作用しなければ物体の速度は変化しない 」 という法則である。

逆に言えば、第1法則は 『 力 』 の存在を主張している。

以下、慣性座標系を 『 慣性系 』 と呼ぶ。

要請2 ( ニュートンの第2法則 )

慣性系では次が成り立つ。

(1) F=mα(t)

(2) F=d(mv)/dt

とくに、(1)を 『 運動方程式 』 という。

ただし、(1)は、質量 m が変化しない場合の式である。

一方、(2)は、質量 m が時間的に変化する場合も含めている。

むろん、質量 m が一定の場合、(2)は(1)に一致する。

実際、F=d(mv)/dt=mdv/dt=mα である。

要請3 ( ニュートンの第3法則 )

AB を、物体 A が物体 B に及ぼす力とする。

BA を、物体 B が物体 A に及ぼす力とする。

このとき、FAB=−FBA が成り立つ。

これを 『 作用・反作用の法則 』 と呼ぶことも多い。

参考 ( ニュートンの第1法則には2通りの解釈がある )

改めて、ニュートンの第1法則に注目しよう。

その補足では 『 慣性の法則 』 について説明した。

慣性の法則は 「 物体に力が作用しなければ、物体の速度は変化しない 」 という法則である。

一方、第2法則より、物体に力が作用していない状態は mdv/dt=0 と表せる。

すると、v=定ベクトルである。

つまり、慣性の法則は、ニュートンの第2法則から導かれる。

よって、

「 第2法則から第1法則が導かれるのであれば、第1法則は不要なのでは?」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、第1法則は無意味ではない。

実際、第1法則は、慣性の法則だけではなくて、座標系や力の存在を主張している。

参考書では第1法則を慣性の法則として採用しているものもある。

既に述べたように、慣性の法則は、第2法則から導かれる。

なので、慣性系の存在を主張した方が正確である。

参考 ( ニュートンの第2法則には2通りの解釈がある )

ニュートンの第2法則については次のように2通りの解釈ができる。

(*1) F=mα(t) を数学的な定義として視る。

(*2) 力 F を既知として、F=mα(t) を物理法則として視る。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、(*1)の立場を採用する。

加速度 α(t) とは、速度 v(t) の微分である。

速度 v(t) とは、位置 x(t) の微分である。

よって、加速度 α(t) は、完全に数学的である。

では、質量 m はどうか?

もしかしたら、

「 これは物理的な量だから、数学ではないのでは? 」

・・・と考える人がいるかもしれない。

しかし、そもそも、ニュートンの法則は、質量の正体については何も主張していない。

実際、質量が何であるかという根源的な問題は、現在(2016年)の科学でも解明されていない。

質量の起源を解明する鍵とされる 『 ヒッグス粒子 』 は発見されたが、それでも鍵を得ただけである。

質量の正体を解明することは、素粒子論(や相対性理論)の役割である。

ニュートン力学において、質量とは、物体に割り当てられた固有の値である。

「 正体は分からないが、とにかく物体にはそのような固有の値が定まっているのだ 」 と考える。

よって、これは数学的な概念である。

とくに、点に対して質量(固有の値)を割り当てたものを 『 質点 』 という。

以上により、v、α、m はすべて数学的な概念である。

よって、F=mα も数学的な概念である。

つまり、この立場では、力 F は F=mα によって定義されている。

いま、数学的に次の計算ができる。



つまり、「 運動量の変化=力積 」 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、(*2)の立場を採用する。

つまり、力を既知として、F=mα(t) を物理法則として採用する。

しかし、「 力を既知とする 」 とは、どういうことか?

むろん、これは 『 ニュートンの第1法則 』 に基づく。

一方、第2法則は d(mv)/dt=F である。

両辺を積分すると、



これは 「 運動量の変化=力積 」 である。

むろん、力がなければ、運動量は保存される。

これは 『 運動量保存則 』 と呼ばれる。

つまり、運動量保存則はニュートン第2法則の書き換えである。

参考 ( ニュートンの第3法則には2通りの解釈がある )

既に述べたように、FAB=−FBA である。

ニュートンの第2法則より、d(m)/dt=FAB、d(m)/dt=FBA である。

よって、d(m+m)/dt=FAB+FBA である。

よって、次の2つは同値である。

(*1) FAB=−FBA

(*2) m+m=定ベクトル

つまり、(*1)の代わりに(*3)を第3法則として採用してよい。

念のため、(*1)⇔(*2)を証明する。

まず、(*1)を仮定する。

いま、d(m+m)/dt=FAB+FBA=0 である。

よって、m+m=定ベクトルである。

これで(*1)⇒(*2)が示された。

逆に、(*2)を仮定する。

いま、FAB+FBA=d(m+m)/dt=0 である。

よって、FAB=−FBA である。

これで(*2)⇒(*1)が示された。

参考 ( 万有引力 )

質量 m と質量 M の物体が距離 r だけ離れているとする。

このとき、2つの物体の間には大きさ|F|=GMm/r の引力が作用する。

とくに、G を 『 万有引力定数 』 という。

実は、厳密には、上式に現れる m は、ニュートンの第2法則に書かれている m とは別物である。

万有引力の式に書かれている m は 『 重力質量 』 と呼ばれている。

ニュートンの第2法則に書かれている m は 『 慣性質量 』 と呼ばれている。

ただし、現在(2016年)までのところ、実験では重力質量と慣性質量に差は発見されていない。

よって、重力質量と慣性質量は等しいものとして扱ってよい。( ちなみに、かなりの精度で確認されている )

よって、両者を区別せずに 『 質量 』 と呼んでよい。

ちなみに、重力質量と慣性質量が同一であることは、相対性理論の中で説明される。

参考 ( 重力 )

測定によると、万有引力定数は G≒6.67×10−11Nm/kg である。

また、地球の質量は M=5.975×1024 kg である。

また、地球の半径は r=6378km である。

よって、GM/r≒9.8m/s である。

そこで、これを g と表す。

このとき、g を 『 重力加速度 』 という。

むろん、厳密には、地表からの距離によって万有引力は変化する。

しかし、その変化は非常に小さいので、定数 g として扱うことができる。

もしかしたら、

「 そういえば、ニュートンの法則には万有引力や重力に関する記述がないような・・・? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

その通りである。

ニュートンの法則は 『 力 』 の種類については何も述べていない。