応力テンソルの物理的意味→偏差応力

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) 応力テンソルの物理的意味

(2) 偏差応力

復習 ( 応力 )

dS=ndS を面積要素とする。

つまり、nは面 dS の法線ベクトルである。

面 dS に働く力を df とする。

dS に df を対応させる写像を 『 応力 』 という。

つまり、応力をσとすると、df=σ(dS)である。

いま、df=σ(dS)=σ(ndS)=dSσ(n)である。

よって、単位面積あたりに働く力は τ=df/dS=σ(n)である。

つまり、応力は 「(単位面積の意味を含めた)単位ベクトル n 」 を τ に変換する。

復習 ( 応力テンソル )

応力は2階テンソルである。

つまり、応力テンソルσは次のように表せる。

定義 ( 垂直応力、せん断応力 )

dS=ndS を面素とする。

σ を dS に働く応力とする。

このとき、σ(n)の n 方向成分を 『 垂直応力 』 という。

また、σ(n)の面 dS への射影を 『 せん断応力 』 という。

P* ( 応力テンソルの物理的意味 )

(1) 応力テンソルの対角成分は、各座標面に働く応力の垂直成分である。

(2) 応力テンソルの非対角成分は各座標面に働く応力のせん断成分である。

補足

応力は n 方向に表が裏を引っ張る力である。

また、作用反作用によって裏も表を引っ張る。

よって、応力テンソルの対角成分が正ならば、その座標面の両側は互いに引き合う。

一方、対角成分が負ならば、その座標面の両側は互いに押し合う。

補足

各辺が座標軸に平行な直方体を考える。

この直方体を x 方向に引っ張る。

むろん、直方体内において x 座標面の両側は互いに引き合う。

また、直方体内において x 座標面( と x 座標面 ) の両側は互いに押し合う。

また、各座標においてせん断応力は 0 である。

  

(1)と(2)の証明

を応力が働く面の法線ベクトルとする。

、e、e を自然基底とする。

ただし、e=n であるとする。

いま、σ(n )=σ(e )=σ13+σ23 +σ33=σ33+(σ13+σ23)である。

上式において σ33 は垂直応力である。

また、σ13+σ23 はせん断応力である。

定義 ( 圧力 )

を任意の単位ベクトルとする。

静止流体中では n によって指定された面の両側は法線方向で押し合っているとしてよい。

つまり、σ(n)=−pn と表せる。

このとき、p を 『 圧力 』 という。

つまり、



つまり、静止流体中のテンソルは単位行列の(−p)倍である。

定義 ( 偏差応力テンソル )

静止流体中では任意の単位ベクトル n に対してσ(n)=−pn である。(※定義:圧力)

また、σ=−pI である。(※定義(圧力)の補足)

そこで、運動する流体中の応力テンソルを σ=−pI+τ とおく。

このとき、τを 『 偏差応力テンソル 』 という。

つまり、τは静止状態からの「ずれ」を意味する。

よく知られているように、応力テンソルは対称である。

よって、偏差応力も対称である。

P* ( 応力と偏差応力の固有ベクトルは等しい )

σを応力テンソルとする。

τ=σ−pI を偏差応力テンソルとする。

このとき、

(1) τの固有値はσの固有値より p だけ小さい。

(2) τの固有ベクトルとσの固有ベクトルは一致する。

(1)と(2)の証明

τとσの固有方程式には次の関係がある。



つまり、τの固有値はσの固有値より p だけ小さい。

をσの固有ベクトルとする。

いま、σv=λv である。

また、σv=(τ+pI)v=τv+pv である。

よって、(λ−p)v=τv である。

つまり、v はτの固有ベクトルである。