応力の要請→応力テンソル

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参考 ( 概要 )

(1) 応力の要請(応力のスカラー倍)

(2) 応力の線形性

(3) 応力テンソルの対称性

初級者向けの本では、最初から応力をテンソルとして定義することも多い。

しかし、このページでは応力のスカラー倍を要請し、応力がテンソルであることを示す。

定義 ( 応力 )

dS=ndS を面積要素とする。

つまり、nは面 dS の法線ベクトルである。

面 dS に働く力を df とする。

dS に df を対応させる写像を 『 応力 』 という。

つまり、応力をσとすると、df=σ(dS)である。

いま、df=σ(dS)=σ(ndS)=dSσ(n)である。

よって、単位面積あたりに働く力は τ=df/dS=σ(n)である。

つまり、応力は 「(単位面積の意味を含めた)単位ベクトル n 」 を τ に変換する。

後で示されるように、応力は2階テンソルである。

定義 ( 表面力、物体力 )

物質内部において単位面積あたりに働く外力を 『 表面力 』 という。

物質内部において単位体積あたりに働く外力を 『 物体力 』 という。

要請 ( 応力テンソルのスカラー倍 )

応力σはスカラー倍をみたす。

つまり、σ(kdS)=kdf=kσ(dS)である。

df は微小面を介して(面の裏側から表側に)働く力である。

ゆえに、面積が k 倍になるに伴って力が k 倍になると要請することは自然である。

むろん、この要請によって σ(0)=0 である。

P1

微小四面体に対して次が成り立つ。

補足

むろん、これは任意の3次元領域 V に対して ∫dS=0 となることを意味する。

実際、領域 V を微小な四面体に分割して和をとればよい。

証明

四面体の頂点を A、B、C、D とする。

=AB、b=AC、c=AD とおく。

いま、BC=b−a であり、BD=c−a である。

よって、

P2 ( 応力は2階テンソルである )

応力は線形性を満たす。

つまり、応力は2階テンソルである。

補足

つまり、次のように表せる。

証明

連続体中に微小な四面体を考える。

を四面体に働く物体力とする。

df ( i=1、・・・、4 ) を四面体に働く表面力とする。

いま、運動方程式は次のように表される。(※要請:応力のスカラー倍)



つまり、



四面体を十分小とすると、( dSに対して ) dV を無視できる。

よって、



つまり、σ(dS)=−(σ(dS)+σ(dS)+σ(dS)) である。

一方、dS=−(dS+dS+dS)である。(※P1)

よって、σ(−(dS+dS+dS))=−(σ(dS)+σ(dS)+σ(dS))である。

要請(応力のスカラー倍)に注意して、上式左辺の − を外に出す。

すると、σ(dS+dS+dS)=σ(dS)+σ(dS)+σ(dS)である。

つまり、σは線形性をもつ。

P3 ( 応力テンソルの対称性 )

応力テンソル σ=[σij] に対して σij=σji である。

補足

つまり、σ=σである。

証明

重心まわりの角運動量方程式は、



今回、x を dx=x(X+dX、t)−x(X、t) とおく。( X は物質座標である)

いま、(*1)の加速度 d/dt は 「 第 i 番質点の重心から見た加速度 」 である。

つまり、物質微分で、



さらに、狽∫に置き換える。

すると、(*1)の左辺は次のように表される。



一方、(*1)は物体力と表面力によって次のように表される。



ただし、上式の第1項は次のように計算される。(※平均値の定理〜積分ver、定義:重心)



つまり、(*1)の右辺には表面力によるトルクが残る。

以上により、重心まわりの角運動量方程式は、



一般に、ベクトルの外積 v×w の成分は次のように表せる。



よって、式(*3)を成分で表すと、



さらに、平均値の定理〜積分verより、中心 x における ∂a/∂x の値を代表させると、



ここで、次のようにおく。



いま、



また、



以上をまとめると、





ここで、i=3 の場合について計算する。

(*5)と(*6)より、(*4)の左辺は、



また、(*4)の右辺は、



軸に垂直な面で、x が大きい方を ΔS と表し、x が小さい方を ΔS と表す。

すると、面の中心座標P、面積ΔS、単位法線ベクトル n、dx と dx の値は、









よって、(*8)の計算を続けると、



(*4)に、(*7)と上の結果を代入すると、



極限 ΔV→0 を考えると、



つまり、σ21=σ12 である。

他も同様に示される。