「ベクトルの線形変換」と「リー代数の相似変換」の対応

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参考 ( 概要 )

物理学では方程式の不変性を要請する。

そして、不変性に伴う変換全体は群を成す。

ゆえに、物理学において群は有用である。

ただし、群の構造は一見するだけで分かるものではない。

ゆえに、群の構造を調べる道具が必要である。

その道具として 『 リー代数 』 がある。

それを説明するために、次のようなテーマを考える。

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テーマ1

SO(3)によるベクトルの線形変換とSU(2)による相似変換は対応する。

つまり、x’=T(θ)x と X’=UXU−1 は対応する。(★1)

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テーマ2

線形変換(α→α’)をα’=gα ( g∈G ) と表す。( ただし G は群である )

ここで、g=etK ( K∈L ) と表す。( ただし L は G のリー代数である )

つまり、α’=etKα である。

この α’=etKα は A’=etBAe−tB ( A、B∈L ) のように表せる。(★2)

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テーマ3

ゲージ理論では変換 Ψ’(x)=U(x)Ψ(x) を考える。( ただし U∈SU(N)である )

実は、この代わりに変換 Ψad’(x)=U(x)Ψad(x)U−1(x)を考えることもできる。(★3)

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上で述べた(★1)〜(★3)は同じ形をしていることが分かる。

このページではこれらが本質的に同じ意味をもつことを説明する。

まとめると、

参考 ( SO(3)とSU(2)の対応 )

反エルミートかつトレースゼロの N×N 行列は実数パラメータを 2N 個もつ。

ただし、反エルミート性(X=−X)は N 個の条件式である。

また、トレースゼロは1個の条件式である。

よって、エルミートかつトレースゼロの N×N 行列の独立な実数パラメータは N−1個である。

つまり、2×2行列の場合は3個である。

つまり、反エルミートかつトレースゼロの2×2行列は3次元実ベクトルと1対1で対応する。

実際、



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第 k 軸まわりの回転は、







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次のようなユニタリ変換(X→X’)を考える。



(θ)に対応するユニタリ行列 U(θ)は、



ただし、σ はパウリ行列である。

つまり、



これにより、3次元の回転とユニタリ変換は対応する。

実際、例えば、次が成り立つ。( ただし x±=x±ix



ただし、上の計算では次のことに注意する。



以下、このことをリー代数の視点で説明する。

定義 ( 指数関数行列 )

X を n 次複素行列とする。

次のように定義する。



これを 『 行列指数関数 』 という。

定義 ( リー代数〜その1 )

G を群とする。

exp(tX)∈G を満たす複素行列 X 全体を L と表す。( t は実数パラメータ )

この L を 『 Gのリー代数 』 という。

この場合に G を 『 リー群 』 という。

定義 ( リー代数〜その2 )

G を群とする。

exp(iX)∈G を満たす複素行列 X 全体を L と表す。

この L を 『 Gのリー代数 』 という。

定義(リー代数〜その1)と定義(〜その2)で大きな違いはない。

このページでは定義(〜その1)を採用する。

復習 ( 指数関数行列の基本公式 )

A と B を正方行列とする。

このとき、



復習 ( リー代数の基本性質 )

(1) リー代数は近似的に実ベクトル空間と見なせる。

(2) リー代数は交換子に関して閉じている。

定義 ( 生成子 )

L を群 G のリー代数とする。

既に確認したように、リー代数は近似的に実ベクトル空間と見なせる。

そこで、リー代数 L の次元を N とする。( つまりN=dimL )

、・・・、X を L の基底とする。

このとき、各 X を 『 Lの生成子(Gの生成子)』 という。

また、{X}を 『 表現 』 という。

定義 ( 構造定数 )

L を群 G のリー代数とする。

、・・・、X を L の生成子とする。

既に確認したように、リー代数は交換子に関して閉じている。

つまり、[X、X]∈L である。

よって、次のように表せる。



このとき、成分 fijk を 『 構造定数 』 という。

また、(*)を 『 リー代数の交換関係 』 と呼ぶことが多い。

明らかに、構造定数は反対称性(隣接する添字を入れ替えると符号が反転する)をもつ。

実際、例えば、fijk=[X、X]=−[X、X]=−fjik である。

参考 ( リー代数とベクトルの対応 )

L を群 G のリー代数とする。

( k=1、・・・、N ) を生成子とする。

次のような相似変換(A→A’)を考える。



ここで、次のようにおく。



このとき、

補足

つまり、行列による相似変換(*1)をベクトルの線形変換(*2)に書き直すことができる。

これは参考(リー代数とベクトルの対応〜その1)に対応している。

補足

(*1)を A’=A+t[B、A]+(t/2)[B、[B、A]]+・・・と表せる。(※参考:指数関数行列の基本公式)

よって、A’∈L である。(※参考:リー代数の基本性質)

つまり、相似変換(A→A’)は線形変換 L→L を意味する。

とくに、t=0 からの微小変位 Δt を考えると、A’=A+Δt[B、A]+O((Δt))である。

つまり、近似的に ΔA=A’−A=Δt[B、A] と見なせる。

つまり、無限小変換による A の変化分 ΔA は Δt[B、A] である。

つまり、交換子[B、A]は無限小変換の構造を決める。

(*3)の証明

いま、次のように表せる。(※上の補足)



また、



よって、(*4)を次のように表せる。



一方、(*2)より、



ただし、



(*5)と(*7)を比較すると、



よって、(*6)は、



Δt→0 とすると、



これは微分方程式である。

また、初期条件は α’(t=0)=α である。(※A’=etBAe−tB

解は次のように表される。(※deAt/dt=AeAt



つまり、



また、(*8)は、

参考 ( ゲージ変換〜その1 )

[iγμμ−m]Ψ=0 を n 次元ディラック方程式(自由粒子ver)とする。

U∈SU(n)とおく。

いま、リー代数の元 ∧∈su(n) が存在して U=e−igΛ と表せる。(※リー代数)

∧ は定数行列であるから U は宇宙全体で位相を Λ だけ変位させる。

つまり、これは 『 大域的変換 』 である。

ここで、これを局所化して U(x)=e−igΛ(x) を考える。

このとき、Ψ’(x)=e−igΛ(x)Ψ(x)を 『 ゲージ変換(1)』 という。

μ=∂μ+igAμ(x)とおく。( この時点では Aμ は未知である )

この Dμ を 『 共変微分 』 という。

また、Aμ を 『 ゲージ場 』 という。

μΨ(x)はゲージ場をもつとする。

つまり、D’μΨ’(x)=e−igΛ(x)μΨ(x)である。

ただし、D’μ=∂μ+igA’μ(x)である。

このとき、A’μ(x)=U(x)Aμ(x)U−1(x)+(i/g)[∂μU(x)]U−1(x)である。(★)

これを 『 ゲージ変換(2)』 という。

改めて、ゲージ変換(1)と(2)を合わせて 『 ゲージ変換 』 という。

Ψ’(x)=U(x)Ψ(x)は x’=T(θ)x や α’=etKα に相当する。

(★)の証明

いま、D’μΨ’(x)=U(x)DμΨ(x)である。

つまり、(∂μ+igA’μ)Ψ’=U(∂μ+igAμ)Ψである。

一方、(∂μ+igA’μ)Ψ’=(∂μ+igA’μ)UΨ=U[∂μ+U−1μU+igU−1A’μU]Ψ である。

よって、U−1μU+igU−1A’μU=igAμ である。

つまり、A’μ=UAμ−1+(i/g)[∂μU]U−1 である。

参考 ( ゲージ変換〜その2 )

Ψad(x)∈su(N)とおく。

Ψad’(x)=U(x)Ψad(x)U−1(x)をゲージ変換とする。

μΨ(x)がΨ(x)と同じ変換性をもつことを要請する。

つまり、Dμ’Ψad’(x)=U(x)DμΨad(x)U−1(x)を要請する。

このとき、DμΨad(x)=∂μΨad(x)+ig[Aμ(x)、Ψad(x)]である。

Ψad’(x)=U(x)Ψad(x)U−1(x)は X’=UXU−1 や A’=etBAe−tB に相当する。

ここで、添字 ad は随伴行列 ( adjoint representation ) の頭文字を意味する。

証明

次のように計算できる。



ただし、上の計算では次のことを用いた。