SU(2)とSO(3)による回転変換

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参考 ( 概要 )

回転変換がSU(2)行列で表せることを示し、これをSO(3)に対応させる。

ちなみに、別のページでは回転変換がSO(3)行列で表されることを示してからSU(2)で表示している。

復習 ( SU(2)行列の一般形 )

SU(2)行列は次の形で表せる。

P1 ( 回転変換は X’=SXS−1 で表される )

X=σ+σ+σ を空間座標とする。

その回転変換は X’=SXS−1 で表される。

補足

これは既に示した。

しかし、ここでは別の視点からこれを示す。

証明

X→X’を回転変換とする。

むろん、X’は次の形で表されなければならない。



そのためには次の条件が保存されればよい。

(*1) エルミート性

(*2) トレース0

(*3) 長さ derX=−(x+x+x

そのような変換はSU(2)行列 U を用いてX’=UXU−1 で表される。

実際、X’=(UXU−1=(U−1=UX−1=UXU−1=X’である。

また、trX’=tr(UXU−1)=trU+trX+tr(U−1)=trU+trX+tr(U)=trX である。(※P2)

また、det(X’)=detUdetXdet(U−1)=detUdetX(detU)−1=detX である。

P2 ( SU(2)による回転変換をSO(3)で表す )

既に示したように、SU(2)の一般形は、



これを次のように表すこともできる。



さらに、これを次のように表すこともできる。



ここで、φ=0、φ=0、φ=0 を順番に代入していくと、次の表示を得る。



上式には S(φ) が繰り返し登場していることに注意。

次のように対応させられる。







上式から分かるように、T による2π回転は U によるπ回転に相当する。

つまり、T と U は 1:2 で対応している。

また、U(φ)、U(φ)、U(φ)∈SU(2)である。

また、T(φ)、T(φ)、T(φ)∈SO(3)である。

補足

(φ)、T(φ)、T(φ)の意味は以下で説明する。

証明

証明は定理の中に書いたので不要である。

定義 ( 第 i 軸まわりの回転 )

第 i 軸まわりの回転を T(θ) と表す。

つまり、

例えば、ベクトル x を第3軸まわりで反時計まわりに回転させたものを x’とすると、

定義 ( 3次元回転 )

3次元回転は原点を通る固定軸に関して回転させることを意味する。

定義 ( オイラー角 )

任意の3次元回転は 「 第1軸まわりの回転 」 と 「 第3軸まわりの回転 」 のみを組み合わせることで実現できる。

T を3次元回転行列とする。

第3軸方向の単位ベクトル e を回転して Te を考える。

この Te を軸まわりの回転で表してみよう。

まず、Te を第3軸まわりに回転して第(2-3)平面内に写す。

その回転角度をψ(0≦ψ≦2π)とすると、e’=T(−ψ)Te である。

次に、e’を第1軸まわりで回転させて e へ写する。

その回転角度をθ(0≦θ≦π)とすると、e=T(−θ)T(−ψ)Te である。

( ここで、0≦θ≦πを仮定したが、明らかに、これはつねに可能である )

上式の両辺を比較して T(−θ)T(−ψ)T=I を結論することはできない。

なぜなら、e は第3軸まわりの回転で不変だからである。
>
その回転角度をφ(0≦φ≦2π)とすると、T(−θ)T(−ψ)T=T(φ)である。

以上により、3次元回転行列は T=T(ψ、θ、φ)=T(ψ)T(θ)T(φ)で表せる。

この角度(ψ、θ、φ)を 『 オイラー角 』 という。

上では 『 ベクトル 』 を回転させることでオイラー角を説明した。

次に、視点を変えて 『 座標系 』 を回転させることでオイラー角を説明する。

まず、座標系 O を考える。

座標系 O における点 P の座標(位置ベクトル)を x=(x、x、x)とする。

次に、座標系 O を第3軸まわりで反時計まわりに角度φだけ回転させて座標系 O’をつくる。

座標系 O’における点 P のz表を x’=(x’、x’、x’)とする。

いま、x’=T(φ)x である。

次に、座標系 O’を第1’軸まわりで反時計まわりに角度θだけ回転させて座標系 O’’をつくる。

座標系 O’’における点 P の座標を x’’とする。

いま、x’’=T(θ)T(φ)x である。

次に、座標系 O’’を第3’’軸まわりで反時計回りに角度ψだけ回転させてt座標系 O’’’をつくる。

座標系 O’’’における点 P の座標を x’’’とする。

いま、x’’’=T(ψ)T(θ)T(φ)x である。

つまり、T=T(ψ、θ、φ)=T(ψ)T(θ)T(φ)である。

これはθとφで座標系 O における回転軸(第3’’軸)を定め、そのまわりで角度ψだけ回転させたことを意味する。