ローレンツ変換の導出

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(0) 波動方程式はガリレイ変換に対して共変ではない。

(1) ローレンツ変換〜ローレンツ因子ver

(2) ローレンツ変換〜双曲線関数ver

(3) 一般のローレンツ変換

ローレンツ変換の表示法は 『 双曲線関数 』 と 『 ローレンツ因子 』 の2通りがある。

どちらでも 「 速度の変換則 」 や 「 電場磁場の変換則 」 を議論できる。

また、変換も非常に簡単である。( 単に記号を置き換えるだけ )

しかし、一見すると式の形が異なるので、別物に思えて混乱する入門者はいるかもしれない。

実は(0)は議論とは直接的な関係はない。

ただし、ローレンツ変換がガリレイ変換の拡張であることを確認するために有用である。

定義 ( ガリレイ変換 )

O を座標系とする。

O’を O に対して速度 V で運動する座標系とする。

を、座標系 O における点の座標とする。

これは O’において次のように表される。



このような変換を 『 ガリレイ変換 』 という。

後に登場するローレンツ変換と対比するために t=t’も明示した。

ある法則がガリレイ変換に対して不変であるとき、「 この法則はガリレイ変換に対して共変である 」 という。

注意 ( ダランベルシアン )

よく知られているように、波動関数は次のように表される。



この演算の部分を□と表す。

つまり、



この□を 『 ダランベルシアン(ダランベリアン)』 という。

参考

(1) ニュートンの運動方程式はガリレイ変換に対して共変である。

(2) 波動方程式はガリレイ変換に対して共変ではない。

(1)の証明

ニュートンの第2法則は 「 慣性系で F=ma が成り立つ 」 である。

よって、O’系において F’=ma’である。

つまり、この定理の主張はニュートンの第2法則そのものである。

しかし、「 いまいち納得ができない 」 という人がいるかもしれない。

そこで、少し寄道して 「 力の成分はガリレイ変換で不変である 」 を示そう。

いま、x’(t)=x(t)−Vt である。(※定義:ガリレイ変換)

これを2回微分すると、a’=a である。

よって、F’=ma’=ma=F である。

(2)の証明

x’=x−Vt をガリレイ変換とする。

いま、









よって、



つまり、□φ(x、t)≠□’φ’(t’、x’)である。

定義 ( x軸方向のローレンツ変換〜ローレンツ因子ver )

座標系 O’ は座標系 O に対して x 軸方向に一定速度 V で運動しているとする。

このとき、O から O’への座標変換は、



このような座標変換を 『(x軸方向の)ローレンツ変換 』 という。

また、このγを 『 ローレンツ因子 』 という。

証明

ガリレイ変換を拡張して次のような線形変換を仮定する。(★1)



実は、この仮定(★1)は外すことができる。( 詳しくは後で議論する )

後の都合を考えて次のようにおく。(※物理的に x=Vt で x’=0 となることにも注意 )



いま、





よって、



ここで、□=□’を要請する。(★2)

つまり、



これを解くと、



つまり、

(★2)について補足

つまり、ダランベルシアンにローレンツ共変性(ローレンツ変換に対して不変)を要請した。

しかし、このような要請を唐突に感じる人がいるかもしれない。

そこで、背景を説明しょう。

よく知られているように、真空中のマクスウェル方程式から □E=0 と □B=0 が導かれる。

そして、特殊相対性理論では 「 物理法則を表す基礎方程式はローレンツ共変である 」 を要請する。

よって、□のローレンツ共変性を要請するのである。

(★1)について補足

ここでは線形変換であることを仮定した。

しかし、実は、線形変換であることを仮定する必要はない。

なぜなら、この変換が一般に線形変換であることは証明できるからである。

そこで、これを証明しよう。

t’=f(t、x)、x’=g(t、x) とおく。

以下、f を t ( や x ) で微分したものを f ( や f ) と表す。

いま、



よって、





波動方程式には∂/∂t’の項は含まれていない。

つまり、ダランベルシアン□において∂/∂t’の係数は 0 である。

つまり、



また、要請□=□’より、∂/∂t と ∂/∂t’ の係数は等しいので、



ここで、ξ=ct−x、η=ct+x とおく。

いま、





よって、(*1)を次のように表せる。



つまり、f を 「 ξのみの関数 」 と 「 ηのみの関数 」 の和として表せる。

つまり、f=a(ξ)+b(η)である。

よって、(*2)の左辺を次のように表せる。



つまり、a’(ξ)b(η)=1である。

つまり、a と b はξやηの1次関数である。

定義 ( x軸方向のローレンツ変換〜双曲線関数ver )

次のような座標変換を考える。



このような座標変換を 『(x軸方向の)ローレンツ変換 』 という。

これは定義(x軸方向のローレンツ変換〜ローレンツ因子ver)と同じである。

実際、x’=0 の運動を座標変換すると、



よって、

P* ( ガリレイ変換とローレンツ変換 )

波動方程式はローレンツ変換に対して共変である。

証明

既に示した。

定義(x軸方向のローレンツ変換)の補足で□=□’を要請したことに注意しよう。

むろん、□=□’は 「 波動方程式のローレンツ共変性 」 を意味する。

定義 ( 一般のローレンツ変換 )

S(ct、x、y、z)を慣性系とする。

S’(ct’、x’、y’、z’)を S に対して速度 V=(V、V、V)で移動する慣性系とする。

このとき、



ただし、

証明

を速度方向の単位ベクトルとする。

=(x、y、z)の速度方向成分は(x・e)e である。

=(x、y、z)の速度に対する垂直成分は x−(x・e)e である。



そこで、x方向のローレンツ変換を次のように書き換えればよい。



いま、



よって、(*1)より、



一方、(*2)と(*3)より、



この第1成分は、



(*1)と(*2)を行列の形にまとめると結論を得る。

参考 ( xy平面上のローレンツ変換 )

=V+V 方向のローレンツ変換は次のように表される。

証明

まず、座標軸を回転させ、運動の方向が x’軸と平行となるようにする。

さらに、x軸方向のローレンツ変換を行う。

さらに、座標軸を逆に回転させて元に戻す。

つまり、



ただし、上の計算では次のことを用いた。