パーセヴァルの等式〜フーリエ級数ver〜フーリエ変換ver

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参考

このページでは次の順番で議論を進める。

(1) パーセヴァルの等式〜フーリエ級数ver

(2) convolution〜フーリエ級数ver

(3) パーセヴァルの等式〜フーリエ変換ver

(4) convolution〜フーリエ変換ver

convolution は 『 たたみ込み積分 』 または 『 合成積 』 と呼ばれることも多い。

フーリエ級数とフーリエ変換は独立した理論だが、相互に対応している。

定義 ( フーリエ級数 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

ここで、次のように定義する。



このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

また、limN→∞[f]を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] が成り立つとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

今回の定義は 『 複素フーリエ級数 』 と呼ばれることも多い。

ここでは f の終域を としたが、終域が である場合も全く同様に定義される。

つまり、複素フーリエ級数は、実関数に対しても定義される。

P1 ( 実フーリエ級数 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

今回の式をフーリエ級数の定義として最初に採用する書物も多い。

むろん、今回の式を定義として採用した場合、定義(複素フーリエ級数)は定理として導かれる。

ただし、今回の式は sin と cos で2種類の項が含まれており、その意味で扱いづらい。

一方、定義(複素フーリエ級数)の場合、項が1つに統一されている。

その意味で、理論的には定義(複素フーリエ級数)の方が扱いやすい。

補足

おそらく、よくある誤解だが、「 実フーリエ級数 」 と 「 複素フーリエ級数 」 は別物ではない。

この2つは表示方法が異なるというだけで、内容は同じである。

証明

k≧1とする。

いま、



よって、a=c+c−k、b=i(c−c−k)である。

一方、k=0 の場合を考えると、c=a/2 である。

よって、

参考 ( 最良近似問題 )

f(x) を、周期 2L の関数とする。

ここで、次のように定める。



つまり、T(x)は3角多項式である。

また、E(f−T)は平均2乗誤差に関する評価関数である。

このとき、E(f−T)を最小にする係数 c、d の値は、f のフーリエ係数である。

補足

つまり、f(x) を T(x) で近似するとき、その最良近似の解は f のフーリエ係数である。

むろん、ここでの近似とは平均2乗誤差の意味である。

証明

いま、



また、





よって、



上式右辺の第1項と第2項は c と d に依存しない。

よって、E(f−T)を最小にする c と d の値は、第3項を最小にする。

明らかに、第3項は、 c=a、c=a、d=b のときに最小値 0 となる。

参考 ( ベッセルの不等式 )

f(x) を、周期 2L の関数とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

ただし、a と b は f のフーリエ係数である。

補足

むろん、N→∞ とすれば、

証明

参考(最良近似問題)において、明らかに E(f−T)≧0 である。

よって、参考(最良近似問題)の証明で示した最後の式より、

P2 ( パーセヴァルの等式〜フーリエ級数ver )

f(x) を、周期 2L の関数とする。

f(x)は滑らかであるとする。

つまり、f(x)は任意の点で微分可能であり、1階導関数は連続である。

このとき、次が成り立つ。

補足

つまり、パーセヴァルの等式は、ベッセルの不等式について等号が成り立つことを意味する。

補足

f(x)が区分的に滑らかである場合についても同じ式が成り立つ。

証明

よく知られているように、滑らかな周期関数 f に対して S[f] は f に一様収束する。

つまり、



上式の両辺に f(x) を掛けると、



いま、f(x)は有界である。

よって、上式右辺は一様収束している。

よく知られているように、一様収束する級数は項別積分可能である。

よって、

P3 ( convolution のフーリエ係数は、フーリエ係数の積である )

f(x) と g(x) を、周期 2L の関数とする。

[f]、c[g] を複素フーリエ係数とする。

ここで、次のように定義する。



このとき、f*g を 『 f と g の convolution 』 という。

このとき、f*g の複素フーリエ係数は、c[f*g]=c[f]c[g] である。

証明

計算すると、

P4 ( フーリエの積分公式 )

f(x) を区分的に滑らかな関数とする。

f(x) は連続であるとする。

f(x) は絶対可積分であるとする。

つまり、



このとき、次が成り立つ。

補足

(*)を 『 フーリエの積分公式 』 という。

これはそのままフーリエ変換の定義に用いられる。

補足

ただし、f が不連続となる点 x で、(*)左辺の f(x) を 2−1(f(x+0)+f(x−0)) に置き換えるとする。

証明 ( 直観的 )

f(x) は周期 2L の関数であると仮定する。

いま、



つまり、



ここで、ω=nπ/L、Δω=ω−ωn−1=π/L とおく。

いま、



リーマン積分の定義では、



よって、L→∞ とすると、

定義 ( フーリエ変換 )

f(x) を区分的に滑らかな関数とする。

f(x) は連続であるとする。

f(x) は絶対可積分であるとする。

次のように定義する。



このとき、F を 『 フーリエ変換 』 という。

つまり、フーリエ変換はフーリエ級数の極限と見なせる。(※P4)

定義 ( フーリエ逆変換 )

g(ω) を区分的に滑らかな関数とする。

g(ω) は連続であるとする。

g(ω) は絶対可積分であるとする。

次のように定義する。



このとき、F−1 を 『 フーリエ逆変換 』 という。

P5 ( フーリエの反転公式 )

f(x) を区分的に滑らかな関数とする。

f(x) は連続であるとする。

f(x) は絶対可積分であるとする。

このとき、F−1[F[f]]=f である。

補足

上式を詳しく書くと、F−1[F[f](ω)](x)=f(x) である。

証明

P4 より、

参考

「 P2が成り立つ 」 というより、「 P5が成り立つようにフーリエ変換を定義した 」 というべきかもしれない。

「 F と F−1 の関係 」 は、フーリエ係数の 「 周期関数とフーリエ係数の関係 」 に似ている。

フーリエ級数について復習しておく。

フーリエ級数は、



S[f](x) が f(x) と一致するとは限らないが、ここでは一致するとしよう。

まず、周期 2L の関数 f(x) が与えられたとする。

このとき、(*2)によって c が定まる。

逆に、c が与えられたとする。

このとき、(*1)によって S[f](x)=f(x) が定まる。

このように、f(x) と c は相互に変換される。

つまり、周期関数とフーリエ係数は相互に変換される。

フーリエ変換で議論したことは、これと同じである。

ただし、フーリエ変換は、非周期関数も議論に含んでいる。

この意味で、フーリエ変換はフーリエ級数の一般化である。

参考

フーリエ変換を次のように定める参考書もある。

つまり、フーリエ変換の係数 (2π)−1 を (2π)−1/2 に変更している。

こちらの定義は、公式の対称性がよくなるという利点をもつ。

P6

次の関数を考える。



このとき、

証明

計算すると、

P7

f(x) を区分的に滑らかな関数とする。

f(x) は連続であるとする。

f(x) は絶対可積分であるとする。

このとき、F[f](−ω)=F[f](ω) である。

補足

ただし、* は複素共役を意味する。

証明

次のように計算できる。(※オイラーの公式)

定義 ( convolution )

f(x) と g(x) を、区分的に滑らかな関数とする。

f(x) と g(x) は、連続であるとする。

f(x) と g(x) は、絶対可積分であるとする。

次のように定義する。



このとき、f*g を 『 f と g の convolution 』 という。

明らかに、f*g=g*f である。

実際、

P8 ( convolution のフーリエ変換は、フーリエ変換の積となる )

f(x) と g(x) を、区分的に滑らかな関数とする。

f(x) と g(x) は、連続であるとする。

f(x) と g(x) は、絶対可積分であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F[f*g]=F[f]F[g]

(2) 2πF[f(t)g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

いま、



ここで、次のようにおく。



いま、



よって、

P9 ( パーセヴァルの等式〜フーリエ変換ver )

f(x) を区分的に滑らかな関数とする。

f(x) は連続であるとする。

f(x) は絶対可積分であるとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

いま、2πF[f(t)g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)] である。(※P6)

つまり、



ここで、f(t)=g(t)、ω=0 とする。

すると、(*)の左辺は、



一方、(*)の右辺は、次のように計算できる。(※P7)