フーリエ反転公式[周期関数ver]

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参考

フーリエ解析において 『 反転公式 』 は基本的である。

しかし、その厳密な証明は難しい。

そこで、このページではフーリエ級数から出発して反転公式を形式的に示す。

定義 ( 複素フーリエ級数 )

f(t)を複素数値関数とし、これは[−L、L]上で定義されているとする。

ここで、次のように定義する。



このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

また、limN→∞[f]を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] が成り立つとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

複素数値関数は 「 値として複素数をとる関数 」 である。

むろん、実関数は複素数値関数に含まれる。

ちなみに、複素関数は 「 変数として複素数をとる複素数値関数 」 である。

複素関数と複素数値関数を混同しないように注意しよう。

いま考えている複素数値関数の定義域は実数である。

P1 ( 積分公式[周期関数ver])

関数 f に対して次が成り立つ。

補足

実は、これはフーリエ反転公式そのものである。

これについては後で示す。

証明

f(x) は周期 2L の関数であると仮定する。

ただし、すぐ下で L→∞ とする。

つまり、関数 f は周期関数でないとしてよい。

いま、



つまり、



ここで、ω=nπ/L、Δω=ω−ωn−1=π/L とおく。

いま、



リーマン積分の定義では、



よって、L→∞ とすると、

定義 ( フーリエ変換 )

関数 f に対して次のように定義する。



このとき、F を 『 フーリエ変換 』 という。

定義 ( フーリエ逆変換 )

関数 g に対して次のように定義する。



このとき、F−1 を 『 フーリエ逆変換 』 という。

フーリエ変換とフーリエ逆変換はP1の証明に現れている。

つまり、フーリエ変換はフーリエ級数の極限である。

P2 ( フーリエの反転公式 )

関数 f に対して F−1[F[f]]=f が成り立つ。

補足

上式を詳しく書くと、F−1[F[f](ω)](x)=f(x) である。

証明

P1より、

参考

「 F と F−1 の関係 」 は 「 周期関数とフーリエ係数の関係 」 に類似する。

フーリエ級数について復習しておく。

フーリエ級数は、



まず、周期 2L の関数 f(x) が与えられたとする。

このとき、(*2)によって c が定まる。

逆に、c が与えられたとする。

このとき、(*1)によって S[f](x)=f(x) が定まる。

このように、f(x) と c は相互に変換される。

つまり、周期関数とフーリエ係数は相互に変換される。

フーリエ変換で議論したことは、これと同じである。

ただし、フーリエ変換は、非周期関数も議論に含んでいる。

この意味で、フーリエ変換はフーリエ級数の一般化である。