時計のパラドクス→自由粒子に対する最小作用の原理

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) 時計のパラドクス

(2) 最小作用の原理

要請 ( 因果律 )

2つの事象の時間に関する前後関係が座標変換によって逆転することはない。

これはタキオン(超光速粒子)が存在しないことを意味する。

また、ミンコフスキ空間上の世界線の傾きがつねに π/2 以上であることを意味する。

要請 ( 物理法則の時間不変性 )

物理法則は時間に依存しない。

つまり、昔は成り立たなかった物理法則が今は成り立つなどということはない。

復習 ( ミンコフスキ時空 )

ミンコフスキ時空の距離はローレンツ変換に対して不変である。

ミンコフスキ時空の距離は次のように定義される。



これを簡略化(あるいは2次元に単純化)して次のように表すこともある。



(x軸方向の)ローレンツ変換は、



これを簡略化(あるいは2次元に単純化)して次のように表すこともある。

復習 ( 固有時間 )

τ=γ−1dt=c−1ds を 『 固有時間 』 という。

ミンコフスキ時空の距離は、



また、



つまり、ds=γ−1d(ct)である。

粒子の速度が v となる瞬間に粒子と同じ速度で運動する慣性系を考えてみよう。

すると、新しい慣性系において粒子の速度は(瞬間的に) 0 である。

つまり、ds=d(ct)である。

これは粒子の速度が変化する場合にも適用できる。

つまり、各時間の粒子と同じ速度で運動する慣性系を考えればよい。

以上により、世界線の弧長 s は粒子に伴って運動する時計で計った時間と同じである。

上の議論では粒子に伴って運動する慣性系を考えることでγが消えた。

これは新しく τ=γ−1dt を時間として認めることを意味する。

つまり、粒子に伴って運動する座標系では時間が τ=γ−1dt で表される。

むろん、τ=γ−1dt は dt より小さい。(※γ>1)

P* ( 時計のパラドクス )

P、R、Q をミンコフスキ時空上の点とする。

P、R、Q のうち2点を結ぶ世界線の傾きは π/2 以上であるとする。(※要請:因果律)

時間的順序は P→R→Q であるとする。

ミンコフスキ時空上の2点 ( A と B ) の距離を一般に d(A、B) と表す。

このとき、d(P、Q)≧d(P、R)+d(P、Q)である。

補足

これは小学校で学ぶ三角不等式の逆バージョンである。

つまり、正値内積の逆バージョンである。

証明

P と Q を時間軸上の点とする。

むろん、線分 PQ の長さは PQ の時間間隔に等しい。

M を、線分 PQ の中点とする。

R を、時刻が M と同じで時間軸から離れた点とする。



いま、線分 PR の長さは、この慣性系における P と R の時間間隔より小さい。(※復習:固有時間)

つまり、線分 PR の長さは PM の長さより小さい。

同様に、線分 RQ の長さは MQ の長さより小さい。

つまり、d(PQ)≧d(PR)+d(RQ)である。(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

よく知られているように、世界線の弧長はローレンツ変換に対して不変である。

よって、時間的順序が P→R→Q であれば、(★)はつねに成り立つ。

参考 ( 自由粒子に対する最小作用の原理 )

P と Q をミンコフスキ時空上の点とする。

P から Q まで粒子を動かす場合、粒子に働く力によって様々な世界線が描かれる。

いま、次の(1)〜(3)は同じ意味をもつ。(※参考:時計のパラドクス)

(1) 自由粒子の軌道

(2) 線分PQ

(3) P と Q を結ぶ世界線で長さが最大となる曲線

実際、P と Q を結ぶ世界線を細かく分割して時計のパラドクスを適用すればよい。

ここで、P と Q を結ぶ世界線Γに対して次を定義する。



( 係数 mc は計算の都合によるものなので気にしなくてよい )

つまり、S[Γ]は世界線Γの弧長に負の符号を付けたものである。

よって、(1)〜(3)より、

(4) 自由粒子の軌道はS[Γ]が最小となる世界線Γである。

今回は自由粒子を考えた。

さらに、一般に、



ここで、L(x、v)はラグランジアンと呼ばれ、系によって異なる。

むろん、自由粒子の場合は L(x、v)=−mcγ−1 である。

ここで、L(x、v)が変数として t を直接にもたないことは要請(物理法則の時間不変性)による。