ラプラス方程式、ポアソン積分公式〜極座標ver

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参考 ( 正則関数の実部と虚部はラプラス方程式の解である )

f(z)=u(x、y)+iv(x、y) を正則関数とする。

このとき、u と v は2次元ラプラス方程式の解である。

証明

いま、u=v と u=−v である。(※コーシー・リーマン方程式)

よって、uxx=vyx であり、uyy=−vxy である。

よって、uxx+uyy=vyx−vxy=0 である。

つまり、u(x、y) はラプラス方程式の解である。

同様に、v(x、y) はラプラス方程式の解である。

P1 ( ポアソン積分公式 )

u(r、θ) を有界関数とする。

u/∂r+r−1∂u/∂r+r−2u/∂θ=0 ( 0<r<a、0≦θ<2π ) をラプラス方程式とする。(★)

u(a、θ)=f(θ)、0≦θ<2π を境界条件とする。

このとき、(★)の解は、

補足

(1)を 『 ポアソン積分公式 』 という。

また、(2)の右辺は、原点を中心とする円 C の線積分を意味する。

とくに、(2)は u(0、θ) がまわりの u の平均として定まることを意味する。

(1)の証明

u(r、θ)=R(r)Θ(θ) とおく。(変数分離法)

これを(★)に代入すると、rR’’/R+rR’/R=−Θ’’/Θ である。

上式左辺の変数は r のみであり、右辺の変数はθのみである。

よって、これは定数 C である。

また、Θの周期 Θ(θ+2π)=Θ(θ) より、C>0 としてよい。

これを確認するため、C=−λ<0 とおく。(背理法)

いま、Θ’’=λΘ である。

この解を Θ=eμθ とおく。

いま、Θ’’=μμθ である。

よって、μ=λ である。

よって、μ=±λ である。

よって、Θ(θ)=Cλθ+C−λθ である。

これは周期性 Θ(0)=Θ(2π) をみたさないので不適である。

次に、C=0 と仮定する。(背理法)

いま、Θ’’=0 である。

よって、Θ=αθ+βである。

これは周期性 Θ(0)=Θ(2π) を満たさないので不適である。

以上により、rR’’/R+rR’/R=−Θ’’/Θ=λ (λ>0) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、

(*1) Θ’’=−λΘ

(*2) rR’’+rR’−λR=0

よく知られているように、(*1)の一般解は、Θ(θ)=Acosλθ+Bsinλθ である。

また、λ=m ( m=1、2、・・・ ) となる。(※周期性Θ(θ)=Θ(θ+2π))

よって、Θ(θ)=Acosmθ+Bsinmθ ( m=1、2、・・・ ) である。

よく知られているように、(*2)はオイラー微分方程式である。

そこで、R=rμ とおく。

特性方程式は、μ(μ−1)+μ−λ=0 である。

よって、μ=±λ=±m である。

よって、R(r)=C+C−m である。

ここで、r→0 とすると、C=0 を得る。(※Rは有界)

よって、R(r)=C ( m=1、2、・・・ ) である。

以上により、u(r、θ)=(Acosmθ+Bsinmθ)r ( m=0、1、2、・・・ ) である。

よって、u(r、θ)=A1≦m≦∞(Acosmθ+Bsinθ)r である。(★★)

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いま、f(θ)=u(a、θ)=A1≦m≦∞(acosmθ+asinθ) である。

一方、一般に、フーリエ級数展開は、



よって、



これらを(★★)に代入すると、

(2)の証明

(1)において r=0 を代入すると、



図示すると、

P2 ( 最大値・最小値の定理 )

領域 D で定義されたラプラス方程式について考える。

このとき、ラプラス方程式の解は、領域 D の境界でのみ最大値・最小値をとる。

ただし、ラプラス方程式の解が定数解である場合を除く。

証明

u をラプラス方程式の解とする。

u が領域 D 内の点 P で最大値 umax をとると仮定する。(背理法)

C を、点 P まわりの半径 a の円とする。

を、点 C 上の u の最大値とする。

いま、P1(2)より、



つまり、umax≦u である。

これは矛盾である。

最小値の場合についても同様に矛盾が示される。

P3 ( ラプラス方程式の解の一意性 )

ラプラス方程式の解は一意である。

証明

u/∂x+∂u/∂y=0 をラプラス方程式とする。

領域 D の境界で u=f であるとする。

、u を2つの解とする。

いま、∂/∂x+∂/∂y=0、u=f である。

また、∂/∂x+∂/∂y=0、u=f である。

ここで、v=u−u とおく。

いま、∂v/∂x+∂v/∂y=∂(u−u)/∂x+∂(u−u)/∂y=0 である。

また、v=u−u=f−f=0 である。

つまり、v=0 ( D の境界上 ) である。

よって、v は D 内において恒等的に 0 である。(※最大値・最小値の定理)