ポインティングベクトル

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参考 ( 概要 )

このページではポインティングベクトル S=ε×B=(1/μ)E×B を導く。

前ページまでに議論した内容も含めて議論の流れを図示すると、

復習 ( 電気的エネルギー密度、磁気的エネルギー密度 )

電場による電気的エネルギー密度(静電エネルギー密度)は、



磁場による磁気的エネルギー密度は、

これらは 「 静電場 」 や 「 静磁場 」 におけるものであることに注意。

以下では時間変化も含めて議論する。

復習 ( 公式 )

一般に、ベクトル場 v と v に対して次が成り立つ。

(*) ∇・(v×v)=v・(∇×v)−v・(∇×v

P* ( ポインティングベクトル )

をエネルギー流密度とする。

u をエネルギー密度とする。

このとき、

補足

とくに、S を 『 ポインティングベクトル 』 という。

(1)の証明

明らかに、次が成り立つ。(※エネルギー保存則)



上式(*)左辺は閉曲面 S の内側から外側を貫く S の流束である。

上式(*)右辺の第1項は閉曲面 S 内部におけるエネルギーの減少を意味する。

ただし、電気的エネルギーは他のエネルギーに変換される可能性がある。

( 例えば、力学的エネルギーや熱エネルギーに変換される可能性がある )

そこで、単位体積あたりに電気的エネルギーが変換される率を p と表す。

上式(*)右辺の第2項は変換されたエネルギーを意味する。

エネルギー変換率 p は 「 電場や磁場が電荷に成す単位体積あたりの仕事率 」 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ここで、電荷 q が数密度 n で分布しているとする。

電荷にはたらく力は F=q(E+v×B)である。(※ローレンツ力)

よって、p=nF・v=nq(E+v×B)・v=nqE・v=E・j である。

よって、(*)は次のように表される。(※ガウスの定理)



よって、

(2)と(3)の証明

いま、c∇×B=j+∂E/∂t である。(※マクスウェル方程式)

また、E・(∇×B)=B・(∇・E)−∇・(A×B)である。(※公式)

また、∇×E=−∂B/∂t である。(※マクスウェル方程式)

以上により、



つまり、



上式を(1)と比較すると、