ポアソン方程式の特殊解→「波動方程式の特殊解、ニュートンの重力場方程式、静電ポテンシャル」

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) ポアソン方程式の特殊解

(2) 波動方程式の特殊解

(3) ニュートンの重力場方程式

(4) 静電ポテンシャル

図示すると、

とくに、ポアソン方程式の特殊解を求めるときには重要な論法を用いる。

その手順は 「 発散する点のε近傍を考える→最大値・最小値の定理→挟み撃ちの原理 」 である。

感覚的には発散する点を 「 握り潰す 」 感じかもしれない。

P1 ( 基本計算 )

を定ベクトルとする。

次のようにおく。



このとき、

補足

は 『 ラプラス演算子 』 と呼ばれる。

これは ∇ の形式的な内積である。

つまり、



次のように表すこともできる。

(1)の証明

=(x、y、z)、a=(a、b、c) とおく。

=(A、A、A)とおく。

いま、



よって、

(2)の証明

次のように計算できる。



よって、



よって、

(3)の証明

いま、



よって、

(4)の証明

(3)と(1)より、

P2 ( b<3ならば積分可能 )

B(a、ε)を点 a を中心とするε閉近傍とする。

つまり、B(a、ε)は点 a から距離ε以内にある点全体である。

このとき、

補足

つまり、b<3 であれば積分は発散しない。

その理由は以下の証明によって明らかである。

証明

次のように計算できる。

P3 ( ポアソン方程式の特殊解 )

次のような方程式を 『 ポアソン方程式 』 という。



f(x)は領域 V の外でつねに 0 をとるとする。(境界条件)

このとき、解として次を採用できる。

証明

点 x を中心とするε閉近傍|y−x|≦ε を B(x、ε)と表す。



いま、V−S(x、ε)において、つねに y≠x である。

よって、被積分関数は発散しない。

よって、体積分 ∫ と微分 ∇ を交換してよい。

つまり、次のように計算できる。(※P1)



一方、次の計算はできない。



なぜなら、f(y)はB(x、ε)において y=x で発散するからである。

そこで、別の方法を考える。

まず、次のようにおく。



つまり、limθ→0φθ(x)=φ(x) である。

いま、上記の積分は有限である。(※P2)

よって、この場合は積分∫B(x、ε) と微分 ∇ の順番を交換してよい。

つまり、



いま、



よって、



よって、



よって、次のように計算できる。(※P2)



よく知られているように、連続関数は有界閉集合上で最大値と最小値をもつ。(※最大値・最小値の定理)

B(x、ε)における f(y) の最小値を m とし、最大値を M とする。

つまり、m≦f(y)≦M である。

よって、次が成り立つ。(※(*3)の符合が負なので不等号は反転する)



つまり、



θ→+0 とすると、



ε→+0 とすると、



つまり、(*2)より、

P4 ( 波動方程式の特殊解 )

次のような波動方程式を考える。



f(x、t)は領域 V の外で、つねに 0 をとるとする。

このとき、解として次を採用できる。

補足

以下の議論では次のように記号を定める。



この記号を 『 ダランベルシアン(ダランベリアン)』 という。

証明

点 x を中心とするε閉近傍|y−x|≦ε を B(x、ε) と表す。

次のようにおく。



いま、



まず、(*1)の第1項に注目する。

次のようにおく。



次のように計算できる。(※P2)



よって、P3の議論と同様に、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、(*1)の第2項に注目する。

これが 0 になることを示せばよい。

いま、V−B(x、t)において y≠x である。

よって、1/|y−x|などを微分できる。

よって、



また、



よって、



また、



(*5)と(*6)より、



一般に、(fg)’’=(f’g+fg’)=f’’g+2f’g’+fg’’である。(★)

よって、(★)、(*7)、(*6)、(*3)より、



(*8)、(*6)より、次のように計算できる。(※P1(4))

P5 ( ニュートンの重力場方程式 )

次のポアソン方程式を 『 ニュートンの重力場方程式 』 という。



その解として次を採用できる。



これを 『(ニュートンの)重力ポテンシャル 』 という。

補足

ちなみに、次のように計算できる。(※P1)

補足

よく知られているように、n個の質点 M、・・・、M が原点につくる重力場は、



の位置を x とすると、これが位置 x につくる重力場は、



むろん、重力ポテンシャルは、



つまり、



(*1)は(*2)の連続バージョンである。

証明

次のように計算できる。(※P3:ポアソン方程式の特殊解)

P6 ( 静電ポテンシャル )

ρ(x)を電荷密度の分布とする。

次のポアソン方程式を考える。



その解として次を採用できる。



このφ(x)を 『 静電ポテンシャル 』 という。

証明

を位置 x にある点電荷とする。

よく知られているように、点電荷 q、・・・、q が位置 x につくる電場は、



いま、次のように計算できる。(※P1)



(*2)は(*1)の連続バージョンである。

よって、



よって、次のように計算できる。(※P3:ポアソン方程式の特殊解)



一方、



よって、