ポアソン方程式の解の一意性

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要請 ( マクスウェルの方程式〜微分形ver )

次が成り立つ。

上記の式は電磁場が時間変化する場合を含めた式である。

むろん、電磁場が時間変化しない場合は次のように表せる。



とくに、このページでは(*1)と(*2)に注目する。

むろん、E=E(r)=E(x、y、z) である。

同様に、B=B(r)=B(x、y、z) である。

P1 ( ポアソン方程式 )

静電場において次が成り立つ。

補足

むろん、電荷のない真空中では ∇φ(r)=0 である。

これを 『 ラプラス方程式 』 という。

証明

よく知られているように、E(r)=−∇φ(r) である。

よって、



よって、結論の式を得る。(要請:マクスウェルの方程式)

P2

φ(r)をポアソン方程式の解とする。(★1)

ψ(r)を(★1)に伴うラプラス方程式の解とする。

このとき、φ(r)+ψ(r)も同じポアソン方程式の解である。

補足

つまり、ポアソン方程式の解は一意ではない。

ただし、境界条件を定めれば解は一意である。(後述)

証明

次のように計算できる。

P3 ( ポアソン方程式の解の一意性 )

電荷分布と境界条件が定まれば、ポアソン方程式の解は一意である。

証明

まず、電荷が存在しない領域を考える。( つまりρ(r)=0 である )

いま、∇φ(r)=0 である。

つまり、φはラプラス方程式を満たす。

つまり、φの2次微分係数は 0 である。

よって、φは極大極小をとらない。

つまり、電荷が存在しない領域で静電ポテンシャル極大極小をもたない。

ここで、境界条件 φ(r)=φ を定める。

すると、領域内でつねに φ(r)=φ である。

以上により、ラプラス方程式を満たす解は領域内で境界値と同じ値をとる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、領域内に電荷が存在する場合を考える。

境界条件 φ が与えられているとする。

φ(r)、φ(r) をポアソン方程式の2つの解とする。

つまり、∇φ(r)=−(1/ε)ρ(r)、∇φ(r)=−(1/ε)ρ(r) である。

ここで、φ(r)=φ(r)−φ(r) とおく。

すると、∇φ(r)=0 である。(★2)

つまり、φ(r)はラプラス方程式を満たす。

一方、いま、境界において φ(r)=φ、φ(r)=φ である。

よって、境界において φ(r)=0 である。(★3)

(★1)〜(★3)より、領域内において φ()=0 である。

つまり、φ(r)=φ(r) である。

参考 ( ラプラス方程式を満たす関数 )

次の(1)と(2)はラプラス方程式を満たす。

(1)の証明

いま、φ(r)=−E・r=−(Ex+Ey+Ez) である。

よって、∂φ(r)/∂x=E であり、∂φ(r)/∂x=0 である。

同様に、∂φ(r)/∂y=0、∂φ(r)/∂z=0 である。

よって、∇φ(r)=0 である。

(2)の証明

いま、r=(x+y+z−1/2 である。

よって、



よって、



よって、



よって、



同様に、



よって、

参考 ( ポアソン方程式の応用 )

半径 R の球体に電荷が密度ρで一様に分布しているとする。

このとき、



補足

証明は2通り用意した。

証明〜その1ではポアソン方程式を用い、〜その2では用いない。

証明〜その1

球の中心を原点とすると、



いま、電荷の分布は球対称である。

よって、この電荷から成るポテンシャルも球対称である。

つまり、このポテンシャルは原点からの距離のみに依存する関数である。

そこで、このポテンシャルを φ(r) と表す。

いま、



よって、



よって、



よって、次が成り立つ。(P1:ポアソン方程式)





いま、φ(r)→0 ( r→∞ ) である。(境界条件)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)を積分すると、rφ(r)=cr+c である。

つまり、φ(r)=c+c/r である。(★1)

境界条件より c=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*2)を積分すると、rφ(r)=−(ρ/6ε)r+cr+c である。

つまり、φ(r)=−(ρ/6ε)r+c+c/r である。(★2)

ポテンシャルは(電荷密度が無限大となる場所以外で)滑らかである。

つまり、r=0 や r=R で φ(r) は連続であり、微分係数 dφ(r)/dr は連続である。

r=0 における連続性より、c=0 である。

r=R における連続性より、c+c/R=−(ρ/6ε)R+c+c/R である。

つまり、c/R=−(ρ/6ε)R+c である。

また、微分係数の連続性より、−c/R=−(ρ/3ε)R である。

よって、c=ρR/3ε、c=ρR/2ε である。

以上により、

証明〜その2

半径 R の球体と同じ中心をもつ半径 r の球面を考える。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、r<R の場合について考える。

いま、半径 r の球面内部の電荷から成る電場は球面に対して垂直である。

つまり、E・n=E(r) である。

よって、



一方、半径 r の球体内部に含まれる全電荷は(4/3)πrρである。

よって、



よって、ガウスの法則より、



つまり、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、r>R の場合について考える。

明らかに、電場は球面に対して垂直である。

つまり、E・n=E(r) である。

よって、



一方、半径 r の球面内部に含まれる全電荷は (4/3)πRρ である。

よって、



よって、ガウスの法則より、



つまり、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)と(*2)の結果を積分すると、