プランク量子仮説→「プランク放射式、シュテファン-ボルツマン則」

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要請 ( プランクの量子仮説 )

振動数ν(角振動数ω=2πν)をもつ電磁波のエネルギーεは次の値のみをとる。

参考 ( 相空間の単位体積はhである )

1個の量子的気体分子が一辺 L の立方体容器にあるとする。

よく知られているように、気体分子のエネルギーは次のように表される。(※3次元シュレディンガ方程式)



ここで、次のようにおく。



さらに、k=2π/λ とおく。

さらに、ド・ブロイ関係式 p=h/λ を用いると、



これは古典力学のエネルギーと一致する。

次に、分子が1次元領域 0≦x≦L において往復運動するとする。

上で確認したように、分子の運動量は次の値をとる。



つまり、pL=(n/2)h である。

ここで、運動量を負の領域に拡張する。

相空間で図示すると、



いま、(p−(−p))h=nh である。

つまり、面積は h ごとに増加する。

よって、相空間の単位面積を h とすることは自然である。

P1 ( プランク放射式 )

立方体容器の体積を V=L をとする。

容器には電磁波が満たされているとする。

容器は温度 T の熱浴に接しているとする。( つまり、容器は温度Tで一定である )

電磁波は容器の内壁で吸収と放射を行い、熱平衡状態であるとする。

このとき、振動数ω〜dωをもつ電磁波の単位体積あたりの数は、



また、エネルギー密度は、



また、全エネルギー密度は、

補足

(2)を 『 プランク放射式 』 という。

(3)を 『 シュテファン-ボルツマン則 』 という。

(3)は電磁波のエネルギー密度が温度 T の4乗に比例することを意味する。

(1)の証明

参考(立方体容器における量子的気体)で示したように、k、k、k は π/L ごとに正の範囲に存在する。

また、(k、k、k)を原点に関して対称に負方向に拡張することは自然である。

よって、(k、k、k)は 2π/L ごとに存在すると考えてよい。(※参考(相空間の単位体積)と同様)

よって、k=(k、k、k)の大きさが k〜k+dk である状態数は 2(2π/L)−34πkdk である。(★)

ただし、因子 2 は電磁波の偏光の自由度が 2 であることに由来する。

真空中の光速を c とすると、c=νλ である。

よって、角振動数 ω=2πν、波数 k=2π/λ の間に ω=ck が成り立つ。

よって、dω=cdk である。

よって、(★)より、単位体積あたりの電磁波の数は D(ω)dω=(π−1ωdω である。

(2)の証明

いま、電磁波は固有振動の重ね合わせとして表せる。

ω を s 番目の固有振動の角振動数とする。

を、その固有振動の量子数とする。

このとき、電磁波のエネルギーは、



また、量子数 n の平均値は、次のように表される。(※参考:カノニカル分布)



よって、エネルギー密度は、

(3)の証明

次の積分公式がある。



よって、