物質微分→変位勾配テンソル→速度勾配テンソル

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) 物質微分(ラグランジュ微分)、空間微分(オイラー微分)

(2) 微小回転

(3) 1点の変位(変位ベクトル)

(4) 2点の変位(変位勾配テンソル)

(5) 3点の変位(グリーン-ラグランジュ歪みテンソル)

(6) 変位勾配テンソル

(7) 速度勾配テンソル

参考 ( 直交分解 )

X を正方行列とする。

S=(1/2)[X+X] とおく。

A=(1/2)[X−X] とおく。(★)

いま、X=S+A である。

また、S は対称行列である。( つまり S=S

また、A は交代行列である。( つまり A=−A

つまり、任意の行列は対称行列と交代行列の和として表される。

これを 『 直交分解 』 という。

(★)より、この交代行列 A の対角成分はすべて 0 であることに注意しよう。

復習 ( 逆写像定理 )

=x(X、X、X)を3変数3次元ベクトル値関数とする。

つまり、x=(x、x、x)と表せる。

つまり、各 x=x(X、X、X) は3変数スカラー値関数である。

このとき、X の逆写像が存在するための必要十分条件は、

行列式 J を 『 ヤコビアン 』 という。

証明は省略するが、これは直観的に分かりやすい主張である。

よく知られているように、行列式≠0 は行列式の中にある3つのベクトルが1次独立であることを意味する。

逆に言えば、行列式=0 ならば、写像 x は(ある意味で)潰れている。

つまり、単射ではないので逆写像をとれない。

定義 ( 物質座標 )

ある粒子が時刻 t=0 に位置 X にあるとする。

このとき、この粒子を X と呼ぶ。

このような X を 『 物質座標 』 という。

つまり、初期時刻 t=0 での粒子の位置を粒子の名称として採用する。

ある粒子が時刻 t=0 に位置 X にあるとする。

その後、この粒子は移動し、時刻 t に位置 x にあるとする。

これを x=x(X、t) と表す。

連続体では x は連続関数であり、すべての点が1対1で対応していると考える。

つまり、J≠0 であり、X=X(x、t) と表すことができる。

つまり、x=x(X、t) を X について解いて、X=X(x、t) と表すことができる。

参考 ( 単純せん断運動 )

=X+atX とおく。

図示すると、

証明

t=0 で点(0、0、0)にある粒子は、時刻 t で(0、0、0)にある。

t=0 で点(1、0、0)にある粒子は、時刻 t で(1、0、0)にある。

t=0 で点(0、1、0)にある粒子は、時刻 t で(at、1、0)にある。

t=0 で点(1、1、0)にある粒子は、時刻 t で(1+at、1、0)にある。

参考 ( 物質表示と空間表示の表記 )

ηを任意の関数(スカラー場、ベクトル場、テンソル場)とする。

η(X、t)をηの物質表示とする。

η(x、t)をηの空間表示とする。

つまり、η(X、t) に X=X(x、t)を代入したものがη(x、t)である。

つまり、η(X(x、t)、t) を η(x、t) と表す。

つまり、η(X、t)とη(x、t)は形が異なる関数である。

定義 ( 物質微分、空間微分 )

ηを任意の関数(スカラー場、ベクトル場、テンソル場)とする。

=x(X、t)であることに注意して、物質座標 X を固定して微分すると、



この D/Dt を 『 物質微分(ラグランジュ微分)』 という。

これに対し、∂/∂t を 『 空間微分(オイラー微分)』 という。

証明

次のように計算できる。(※注意:物質表示と空間表示の表記)

参考 ( 剛体回転 )

を定ベクトルとする。

R(t)を直交テンソルとする。

いま、x−b=R(t)・(X−b)は b軸まわりの回転を意味する。

このとき、上式に従って運動する2つの粒子の距離は不変である。

2つの粒子を X(1)、X(2) とする。

ΔX=X(2)−X(1)、Δx=x(2)−x(1)とおく。

いま、Δx=R(t)・ΔX である。

よって、(Δx)=(Δx)Δx=(RΔX)RΔX=(ΔX)RΔX=(ΔX)ΔX=(ΔX) である。

定義 ( 微小回転 )

を定ベクトルとする。

軸まわりで粒子が微小角 dθ だけ回転したとする。

粒子の位置を x と表す。

いま、あるベクトル dθ が存在して次を満たす。

(1) dθ は b に対して平行である。

(2) |dθ|=dθ

(3) dx=dθ×x

このとき、dθ を 『 微小回転ベクトル 』 という。

また、Ω=dθ/dt を 『 角速度ベクトル 』 という。

(1)と(2)の証明

計算すると、|dθ×x|=|dθ||x|sinα=Rdθ=|dx|である。(※下図)

定義 ( 変位ベクトル )

1つの粒子 X を考える。

これが時刻 t に位置 x にあるとする。

いま、この粒子の変位は u(X)=x(X)−X である。

このとき、u(X) を 『 変位ベクトル 』 という。

定義 ( 変位勾配、微小歪みテンソル、微小回転テンソル )

2つの粒子 X と X+dX を考える。

(X) を X の変位とする。

(X+dX) を X+dX の変位とする。

このとき、du=u(X+dX)−u(X) を 『 相対変位 』 という。

また、[du/dX] を 『 変位勾配テンソル 』 という。

εを、変位勾配テンソルの対称部分とする。(※参考:直交分解)

ξを、変位勾配テンソルの交代部分とする。

つまり、



このとき、εを 『 微小歪みテンソル 』 という。

また、ξを 『 微小回転テンソル 』 という。

P1 ( 微小変位=並進+歪+微小回転 )

2つの粒子 X と X+dX を考える。

[du/dX]=ε+ξ を変位勾配テンソルとする。

このとき、





補足

(3)において右辺が第1項のみであれば、これは X+dX と X が同じ変位をもつことを意味する。

つまり、これは並進運動である。

(3)において右辺が第3項のみであれば、これは微小回転を意味する。

実際、Δθ は定義(微小回転ベクトル)を意味する。

(3)において右辺の第2項は歪みを意味する。(詳細は後述)

(1)の証明

いま、u(X)=x(X)−X である。

また、u(X+dX)=x(X+dX)−(X+dX) である。

よって、dx=x(X+dX)−x(X)=u(X+dX)−u(X)+dX である。

(2)の証明

明らかである。(※微分積分学の全微分)

(3)の証明

(2)より明らかである。(※定義(変位勾配)の補足、復習(軸性ベクトル)の補足)

定義 ( グリーン・ラグランジュ歪みテンソル )

3つの粒子 X、X+X、X+X を考える。

ここで、H=dX・dX、H’=dx・dx とおく。

このとき、



ただし、



この E を 『 グリーン・ラグランジュ歪みテンソル 』 という。

(*)を 『 E による双1次形式 』 という。

(*)の証明

P1より、





よって、



よって、

参考 ( 微小変形においてE≒ε )

微小変形においてグリーン・ラグランジュ歪みテンソルは歪みテンソルに一致する。

証明

微小変形では2次の項は無視できる。

よって、

P2 ( 歪みテンソルの意味 )

[du/dX]=ε+ξ を変位勾配テンソルとする。

|dX|=ds、|dX|=ds とおく。

θAB を、dX と dX の成す角とする。

=dX/ds、n=dX/ds とおく。

このとき、





補足

(1)を 『 伸び縮み変形 』 という。

(2)を 『 せん断変形 』 という。

補足

(2)は ε22 や ε33 についても同様に成り立つ。

つまり、歪みテンソルの対角成分は各座標軸方向に並ぶ粒子群の、その方向での歪みを意味する。

例えば、X=一定の平面内で正方形を dX 方向に伸ばしてみよう。

すると、dX方向では縮む。

この場合、ε11>0 であり、ε22<0 である。

補足

せん断変形とは下図のように正方形が菱形に変化する変形である。



(2)より、歪みテンソルの非対角成分は角度変化 α+β の 1/2 倍を意味する。

実際、



α=βの場合、これは回転のない純粋なせん断変形を意味する。

実際、対角線の回転角度 Δθ は、



α=−βの場合、これは剛体回転である。

実際、



一般の場合について考える。

原点に位置する菱形の頂点の角度を2γとする。

いま、α+β+2γ=π/2 である。(※下図)



よって、

(1)の証明

H=dX・dX=dsdscosθAB とおく。

H’=dx・dx とおく。

いま、次が成り立つ。(※定義:グリーン・ラグランジュ歪みテンソル、定義:歪みテンソル)



一方、全微分は、



よって、

(2)の証明

いま、ds=ds=ds である。

また、θAB=0 である。

よって、(1)より、Δds/ds=εn である。

よって、n=e とすると、Δds/ds=ε11 である。

(3)の証明

いま、n=e であり、n=e である。

また、θAB=π/2 である。

よって、(1)より、−(1/2)θABεe=ε12 である。

定義 ( 速度勾配テンソル )

(X、t)=x(X、t)−X を粒子の変位とする。

=Du/Dt とおく。

このとき、[dv/dx] を 『 速度勾配テンソル 』 という。

速度勾配テンソルの対称部分を 『 変形速度テンソル 』 という。

速度勾配テンソルの交代部分を 『 回転速度テンソル 』 という。

以下、速度勾配テンソルを L と表し、変形速度テンソルを D と表し、回転速度テンソルを W と表す。

つまり、L=D+W である。

これらは物質表示なので、それを強調するためにこれを小文字で表す本もある。

P3

2つの粒子 X と X+dX を考える。

L=D+W を速度勾配テンソルとする。

このとき、







補足

(4)において (1/2)rot(v)は A に付く軸性ベクトルである。

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

P1(2)より、

(3)の証明

明らかである。

(4)の証明

明らかである。

P4

L=D+W を速度勾配テンソルとする。

|dx|=ds、|dx|=ds とおく。

=dx/ds、n=dx/ds とおく。

θAB を dx と dx の成す角とする。

このとき、

証明

いま、



よって、次のように計算できる。(※P3)



一方、



よって、



よって、