物質微分(ラグランジュ微分)

サイトのTOP→理系インデックス





定義 ( 物質座標、空間座標 )

物体の運動を記述する方法として 『 ラグランジュ流 』 と 『 オイラー流 』 がある。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、ラグランジュ流について説明する。

ラグランジュ流は 「 流体粒子の位置 」 を記述する。

時刻 t=0 に座標(X、X、X)にある粒子が時刻 t で座標(x、x、x)にあるとする。

いま、次のように表せる。



つまり、各 x は(X、X、X、t)を変数とする関数として表される。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、オイラー流について説明する。

オイラー流では流体中の一点に注目し、その点を通過する流体粒子の速度を記述する。

時刻 t に、粒子が速度(v、v、v)で位置(x、x、x)を通過したとする。

いま、次のように表せる。



つまり、各 v は(x、x、x、t)を変数とする関数として表される。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ラグランジュ流の((X、X、X)を 『 物質座標 』 という。

オイラー流の(x、x、x)を 『 空間座標 』 という。

ラグランジュ流では x、x、x は t に従属している。

一方、オイラー流では x、x、x、t は独立変数である。

物質座標は連続体に張り付けられている。

つまり、物質座標は連続体とともに変形する。

この意味で、物質座標は連続体が変形しても変化しない。

定義 ( 物質微分(ラグランジュ微分))

φを、流体中の各点における物理的状態を記述する関数とする。

オイラー流では、これはφ(x、x、x、t)と表される。

ここで、時刻 t に位置(x、x、x)にある流体粒子が速度 v=(v、v、v)をもつとする。

微小時間 Δt によるφの変化はΔφであるとする。

いま、次が成り立つ。(※テイラー展開)



両辺を Δt で割って Δt→0 とすると、



これを Dφ/Dt で表す。

つまり、



これを 『 ラグランジュ微分 』 という。

・∇ を 『 移流項 』 と呼ぶこともある。

参考 ( 単純せん断運動 )

空間座標 x=(x、x、x) が物質座標 X=(X、X、X) によって次のように表されるとする。



これを図示すると次のようになる。

証明

t=0 で点(0、0、0)にある粒子は、時刻 t で(0、0、0)にある。

t=0 で点(1、0、0)にある粒子は、時刻 t で(1、0、0)にある。

t=0 で点(0、1、0)にある粒子は、時刻 t で(at、1、0)にある。

t=0 で点(1、1、0)にある粒子は、時刻 t で(1+at、1、0)にある。

参考 ( 温度勾配 )

例えば、空間的に固定された点を考える。

ここに、外部から熱が流入したとする。

このとき、この点における温度変化は ∂T/∂t である。(★1)

一方、定常温度分布 T=T+αx があるとしよう。

ここで、x方向に速度 v で時間 Δt だけ移動したとする。

この移動に伴う温度変化は ΔT=αΔx=αvΔt である。

つまり、ΔT/Δt=αv=v∂T/∂x である。

むろん、3次元では ΔT/Δt=v・∇T である。(★2)

(★1)と(★2)を合わせると、D/Dt=∂/∂t+v・∇T である。