ラグランジュ運動方程式〜2次元3次元ver

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参考

ラグランジュ運動方程式とは、直交座標と極座標で不変な運動方程式である。

ラグランジュ運動方程式はN質点系で議論される。

しかし、最初からN質点系で議論すると、道筋が視えづらい。

そこで、このページでは、議論を2次元3次元に限定してラグランジュ運動方程式を導く。

P1 ( ナブラ〜球座標ver )

直交座標系を次のように変数変換する。



このとき、

補足

変数変換の様子を図示すると、

証明

いま、



また、



(*2)の両辺を x で偏微分すると、



よって、



(*3)の両辺を x で偏微分すると、



よって、



(*4)の両辺を x で偏微分すると、



よって、



(*5)〜(*7)を(*1)に代入すると、



同様に、



P2 ( 速度と加速度の極座標表示〜2次元ver )

x=rcosθ、y=rsinθ を(2次元の)極座標変換とする。

=(rcosθ、rsinθ) を位置ベクトルとする。

このとき、





ただし、

(1)の証明

いま、





よって、

(2)の証明

いま、





よって、

P3 ( 速度と加速度の極座標表示〜3次元ver )

x=rsinθcosφ、y=rsinθsinφ、z=rcosθ を(3次元の)極座標変換とする。

このとき、





ただし、







(1)の証明

いま、







よって、

(2)の証明

いま、







一方、



上式に(*1)〜(*3)を代入して計算すると、(2)の式を得る。

計算は少し長くなるが、これは地道に計算すれば出るので、計算過程は省略する。

P4

F=F+Fθθ と表す。

このとき、

証明

明らかである。(※P2)

P5 ( 補題〜2次元ver )

mr・・=F を(2次元の)運動方程式とする。

この運動方程式を次のように表せる。

(1) (∂T/∂x−∂T/∂x=F、(∂T/∂y−∂T/∂y=F

(2) (∂T/∂r−∂T/∂r=F、(∂T/∂θ−∂T/∂θ=rFθ

(1)の証明

T を質点の運動エネルギーとする。

いま、T=2−1m(r=2−1m((x+(y) である。

また、∂T/∂x=mx=p である。

また、∂T/∂y=my=p である。

よって、(∂T/∂x=F、(∂T/∂y=F である。

一方、∂T/∂x=∂T/∂y=0 である。

よって、(∂T/∂x−∂T/∂x=F、(∂T/∂y−∂T/∂y=F である。

(2)の証明

いま、r=e+reθθ である。(※P2)

よって、T=2−1m(r=2−1m((r+r(θ) である。

いま、∂T/∂r=mr である。

また、∂T/∂θ=mrθ である。

また、(∂T/∂r=mr・・=F+mr(θ=F+∂T/∂r である。(※P2)

また、(∂T/∂θ=m(rθ=rFθ である。(※P3)

一方、∂T/∂θ=0 である。

よって、(∂T/∂θ−∂T/∂θ=rFθ である。

P6 ( 補題〜3次元ver )

mr・・=F (3次元の)運動方程式とする。

この運動方程式は次のように表される。

(1) (∂T/∂x=−∂T/∂x=F、(∂T/∂y=−∂T/∂y=F、(∂T/∂z=−∂T/∂z=F

(2) (∂T/∂r=−∂T/∂r=F、(∂T/∂θ=−∂T/∂θ=Fθ、(∂T/∂φ=−∂T/∂φ=Fφ

(1)の証明

P5と同様である。

(2)の証明

いま、T=2−1m((r+r(θ+rsinθ(φ) である。(※P3)

後は、P4 と同様に計算すればよい。

定義 ( 一般化力 )

既に示したように、次が成り立つ。(※P5)

(1) (∂T/∂x−∂T/∂x=F、(∂T/∂y−∂T/∂y=F

(2) (∂T/∂r−∂T/∂r=F、(∂T/∂θ−∂T/∂θ=rFθ

いま、(2)の2式について、その左辺は対称的である。

つまり、r と θ を入れ替えると、2式の左辺は全く同じ式になる。

一方、右辺は対称的ではない。

そこで、Q=F、Qθ=rFθ とおく。

すると、(2)の2式は対称的となる。

このような Q と Qθ を 『 一般化力 』 という。

と Qθ で(2)を表すと、この式は(1)と同じ形になる。

以上により、直交座標と極座標で不変な運動方程式が得られた。

しかも、これは、運動エネルギー T を用いてニュートン運動方程式を変形するだけで得られた。

むろん、同様のことは3次元の場合についても言える。

定義 ( 保存力 )

ある関数 U(r) が存在して、F・dr=−∇U・dr の形で表されるとする。

このとき、F を 『 保存力 』 という。

また、U(r) を 『 ポテンシャル 』 という。

ただし、∇=e(∂/∂x)+e(∂/∂y)+e(∂/∂z) である。

つまり、∇U・dr=(∂U/∂x)dx+(∂U/∂y)dy+(∂U/∂z)dz=dU(r) である。

定義 ( ラグランジアン )

T を運動エネルギーとする。

U をポテンシャルとする。

L=T−U と定める。

このとき、L を 『 ラグランジアン 』 という。

上記の定義は唐突に感じられるかもしれない。

しかし、この L が有用であることは次の定理によって分かるであろう。

P7 ( ラグランジュの運動方程式 )

F を保存力とする。

このとき、運動方程式は次のように表せる。

(1) (∂L/∂x−∂L/∂x=0、(∂L/∂y−∂L/∂y=0、(∂L/∂z−∂L/∂z=0

(2) (∂L/∂r−∂L/∂r=0、(∂L/∂θ−∂L/∂θ=0、(∂L/∂φ−∂L/∂φ=0

補足

この式を 『 ラグランジュ運動方程式 』 という。

(1)の証明

いま、F=(−∂U/∂x、−∂U/∂y、−∂U/∂z) と表せる。

よって、運動方程式は次のように表される。(※P6)

(*1) (∂T/∂x=−∂U/∂x、(∂T/∂y=−∂U/∂y、(∂T/∂z=−∂U/∂z

いま、T は r のみに依存する関数である。

また、U は r のみに依存する関数である。

よって、L=T−U は、r と r に依存する関数である。

また、∂L/∂x=∂T/∂x であり、∂L/∂x=−∂U/∂x である。

よって、(∂L/∂x−∂L/∂x=0 である。

同様に、、(∂L/∂y−∂L/∂y=0、(∂L/∂z−∂L/∂z=0 である。

(2)の証明

いま、F=−∇U である。

また、∇=e∂/∂r+eθ−1∂/∂θ+eφ(rsinθ)−1∂/∂φ である。(※P1)

よって、

(*1) F=−∂U/∂r

(*2) Fθ=−(1/r)∂U/∂θ

(*3) Fφ=−(rsinθ)−1∂U/∂φ

一方、次が成り立つ。(※P6)

(*4) (∂T/∂r−∂T/∂r=F

(*5) (∂T/∂θ−∂T/∂θ=rFθ

(*6) (∂T/∂φ−∂T/∂φ=rsinθFφ

よって、

(*7) (∂L/∂r−∂L/∂r=0

(*8) (∂L/∂θ−∂L/∂θ=0

(*9) (∂L/∂φ−∂L/∂φ=0