ラグランジュ偏微分方程式

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参考 ( 最も単純な偏微分方程式 )

∂u/∂x=1 を偏微分方程式とする。(★)

(★)の一般解は、u(x、y)=x+φ(y) である。

ただし、φ(y) は y を変数とする任意関数である。

補足

幾何的な意味を考察する。

まず、∂u/∂x=1 は、y を固定した x による微分である。

つまり、曲面 u(x、y) は x 軸方向に傾き 1 をもつ。

また、曲面 u(x、y) と yz 平面の交線は z=φ(y) と表せる。

φ(y) は任意に選んでよいので、一般解(★2)は任意関数をもつ。

逆に言えば、交線φ(y)を指定すれば、解は一意に定まる。

証明

(★)の両辺を x で積分すると、u(x、y)=∫dx=x+φ(y) である。

定義 ( ラグランジュ偏微分方程式 )

P(x、y、u)∂u/∂x+Q(x、y、u)∂u/∂y=R(x、y、u) を偏微分方程式とする。(★)

ただし、u=u(x、y) である。

このとき、(★)を 『 ラグランジュ偏微分方程式 』 という。

定義 ( 補助方程式 )

P(x、y、u)∂u/∂x+Q(x、y、u)∂u/∂y=R(x、y、u) をラグランジュ偏微分方程式とする。(★)

u(x、y) は1つの独立変数 s によって表されるとする。

いま、



ある関数λ ( ただし零関数でない ) が存在して、次を満たすとする。



いま、(*)と(★)は一致する。

また、



つまり、(1)は x を独立変数、(2)は y を独立変数、(3)は u を独立変数と見なした式である。

(1)〜(3)の式をまとめて、形式的に次のように表す。



この式を 『 補助方程式 』 という。

P1

P(x、y、u)∂u/∂x+Q(x、y、u)∂u/∂y=R(x、y、u)をラグランジュ偏微分方程式とする。(★1)

dx/P(x、y、u)=dy/Q(x、y、u)=du/R(x、y、u)を補助方程式とする。(★2)

(★2)の一般解が f(x、y、u)=A、g(x、y、u)=B で表されるとする。

さらに、B=φ(A)と表せるとする。

このとき、(★1)の一般解は、g=φ(f) である。

むろん、g=φ(f) を ψ(f、g)=0 の形で表してもよい。

証明

明らかである。(※定義:補助方程式)

P2

k∂u/∂x+∂u/∂y=0 を偏微分方程式とする。(★)

(★)の一般解は、u(x、y)=φ(x−ky) である。

補足

証明は4通り用意した。

ただし、これらの説明は本質的に同じである。

これらの違いは、どれだけ直接的に証明するかによる。

証明〜その1 ( 補助方程式による解法 )

いま、(★)の補助方程式は、dx/k=dy/1=du/0 である。

ここで、上式の分母に 0 が入っているが、これは意味をもつ。

実際、これは du/dx=0、du/dy=0 を意味している。(※定義:補助方程式)

よって、u=B ( 定数 ) である。

また、x−ky=A ( 定数 ) である。

よって、(★)の一般解は、u=φ(x−ky) である。

証明〜その2

u は1つの独立変数 s によって表されるとする。

いま、



ここで、dx/ds=k、dy/ds=1 とおく。

いま、(*)と(★)は一致する。

つまり、du/ds=0 である。

よって、u=B である。

また、x=ks+a、y=s+b ( a と b は任意定数 ) である。

s を消去すると、x−ky=A ( A は任意定数 ) である。

ここで、ある関数φが存在して、B=φ(A) と表せるとする。

いま、u=φ(x−ky) である。

この u=φ(x−ky) が(★)の一般解であることを確認する。

ξ=x−ky とおく。

いま、

証明〜その3

ある変数変換 s=s(x、y)、t=t(x、y) が存在して、∂x/∂s=k∂y/∂s を満たすとする。(★★)

いま、



つまり、u は s を含まない。

つまり、u は1つの独立変数 t によって表される。

そこで、u=f(t) と表す。

一方、(★★)より、∂(x−ky)/∂s=0 である。

よって、x−ky=g(t) と表せる。

よって、t=g−1(x−ky) である。

よって、u=f(t)=f(g−1(x−ky))=φ(x−ky) と表せる。

証明〜その4 ( 最も直接的な方法 )

t=x−ky、s=x+ky とおく。

s と t を独立変数としたとき、t=x−ky は(★)を満たす最も簡単な関数である。

s は t から独立していれば自由に選んでよい。

ただし、ここでは式の対称性を考慮して s=x+ky とした。

いま、



よって、2k∂u/∂s=0 である。

つまり、u は s を含まない。

つまり、u は1つの独立変数 t によって表される。

よって、u=φ(t)=φ(x−ky) と表せる。