ランダウ準位→ゲージ不変

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参考 ( ラグランジュ運動方程式 )

K を質点の運動エネルギーとする。

U を質点のポテンシャルエネルギーとする。

L=K−U とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

(*)を 『 ラグランジュ運動方程式 』 という。

また、L を 『 ラグランジアン 』 という。

また、q を 『 一般化座標 』 である。

例えば、直交座標で1つの質点を考えるときは、q=x、q=y、q=z である。

証明

既知とする。

定義 ( 一般化運動量 )

、q、・・・ を一般化座標とする。

次のように定義する。



このとき、p、p、・・・を 『 一般化運動量 』 という。

定義 ( ハミルトニアン )

、q、・・・ を一般化座標とする。

、p、・・・ を q、q、・・・ に付く一般化運動量とする。

次のように定義する。



このとき、H を 『 ハミルトニアン 』 という。

ちなみに、ハミルトニアンという用語は量子力学という分野にも登場する。

それと区別するために、今回に定義したハミルトニアンを 『 古典的ハミルトニアン 』 と呼ぶこともある。

参考 ( ハミルトン運動方程式 )

次式はラグランジュの運動方程式に一致する。

補足

(*)を 『 ハミルトン運動方程式 』 という。

証明

既知とする。

参考 ( ハミルトニアン=全力学的エネルギー )

H をハミルトニアンとする。

このとき、H=K+U である。

証明

既知とする。

定義 ( ゲージ変換 )

次のような変換を考える。

(*1) A → A’=A+gradφ

(*2) φ → φ’=φ−∂θ/∂t

このような変換を 『 ゲージ変換 』 という。

P1 ( ローレンツ力の解析力学 )

=(E、E、E) を電場とする。

=(B、B、B) を磁場とする。

この電磁場中を速度 v で運動する荷電粒子を考える。

この荷電粒子の電荷は q であるとし、質量は m であるとする。

いま、スカラーポテンシャルφ(r、t)、ベクトルポテンシャル A(r、t) が存在して次を満たす。(※電磁気学)



このとき、次が成り立つ。



また、(1)は次の(2)や(3)と同値である。



補足

既に注意したように、次はいずれも同値である。

(**1) ニュートン運動方程式

(**2) ラグランジュ運動方程式

(**3) ハミルトン運動方程式

よって、例えば、(**1)⇒(**3)を示すだけで(**3)⇔(**1)を示したことになる。

(1)の証明

荷電粒子に作用する力は F=q(E+v×B)である。(※電磁気学:ローレンツ力)

よって、(1)が成り立つ。

(1)⇒(2)の証明

ラグランジアン L を次のように定める。



つまり、



いま、



よって、



一方、ラグランジュ運動方程式は、



(***4)に(***1)〜(***3)を代入すると、



同様に、





一方、(*1)、(*2)より、





よって、(***5)〜(***7)は次のように表される。

(*) mx・・=q(E+(y−z))

(*) my・・=q(E+(z−x))

(*) mz・・=q(E+(x−y))

まとめると、ma=q(E+v×B) である。

(2)⇒(3)の証明

(2)を仮定する。

つまり、



つまり、



いま、定義(一般化運動量)より、



よって、定義(古典的ハミルトニアン)より、

P2 ( 電場と磁場のゲージ不変性 )

電場と磁場はゲージ変換に対して不変である。

補足

つまり、電磁場における荷電粒子の古典的運動はゲージ不変である。

証明

いま、あるスカラーポテンシャルφ(r、t)、ベクトルポテンシャル A(r、t) が存在して次を満たす。(※電磁気学)

(*1) E=−gradφ−∂A/∂t

(*2) B=rotA

一方、ゲージ変換を改めて書くと、

(*3) A → A’=A+gradφ

(*4) φ → φ’=φ−∂θ/∂t

よって、



P3 ( シュレディンガー方程式のゲージ不変性 )

A’=A+gradθ、φ’=φ−∂θ/∂t をゲージ変換とする。(★)

ゲージ変換に対して波動関数を次のように変換すると規約する。



このとき、次が成り立つ。

(1) 運動量の期待値はゲージ不変である。

(2) 磁場中のシュレディンガー方程式はゲージ不変である。

補足

既に示したように、電磁場における荷電粒子の古典的運動はゲージ不変である。(※P2)

よって、電磁場における荷電粒子の物理量の期待値もゲージ不変となるべきである。(※エレンフェストの定理)

そして、(1)はこれを保障する。

つまり、規約(*)は正当である。

(1)の証明

既に示したように、mx=p−qA、my=p−qA、mz=p−qA である。

よって、



ゲージ変換すると、



いま、



また、



よって、(*2)は次のように表される。



つまり、(*2)=(*1)である。

(2)の証明

よく知られているように、量子的ハミルトニアン H はエネルギーに対応するオペレータである。

また、古典的ハミルトニアン H は全力学的エネルギーを意味する。(※参考:古典的H=E)

よって、磁場中のシュレディンガー方程式は次のように表されるとしてよい。(※P1(3))



ゲージ変換を行うと、



一方、既に(1)で示したように、



よって、



よって、(*2)の右辺は、



一方、(*2)の左辺は、



(*2)、(*3)、(*4)より、



つまり、(*2)から(*1)が導かれた。

P4 ( ランダウ準位 )

=(0、0、B) を磁場とする。

このとき、磁場 B において荷電粒子のエネルギーは、

補足

このエネルギー準位を 『 ランダウ準位 』 という。

また、ωを 『 サイクロトロン角振動数 』 という。

ちなみに、このωは古典粒子のサイクロトロン運動の角振動数を意味する。

証明

いま、あるベクトルポテンシャル A が存在して B=rotA である。

ここでは A=(0、Bx、0) を採用する。

いま、磁場は一定なので E=0 である。(※電磁気学)

よって、φ=0 である。

いま、磁場中のハミルトニアンは、



上式から分かるように、H は y と z をもたない。

よって、[H、p]=0、[H、p]=0 である。

よって、p、p の固有値は確定する。

つまり、p、p は一定である。

そこで、p の固有値を p とし、p の固有値を p とする。

( ちなみに、p が一定であることは古典電磁気学の立場からも明らかである )

ここで、xy平面に注目すると、



ただし、





式(*)は1次元調和振動子と同じである。

よって、エネルギー固有値は、