ラプラス方程式〜円柱座標ver

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注意

次の記号を 『 ラプラス演算子 』 という。

むろん、次はいずれも同じ意味である。

上では3次元の場合について書いたが、同様のことを2次元で考えることもできる。

P1 ( ラプラス方程式〜極座標ver )

xx+uyy=0 を(2次元)ラプラス方程式とする。(★)

x=rcosθ、y=rsinθ を変数変換とする。

このとき、(★)は urr+r−1+r−2θθ=0 と表される。

証明

いま、r=(x+y1/2 である。

また、θ=tan−1(y/x) である。

よって、





よって、





よって、



同様に、



よって、

P2 ( ラプラス方程式〜円柱座標ver )

xx+uyy+uzz=0 を(3次元)ラプラス方程式とする。(★)

x=rcosθ、y=rsinθ、z=z を変数変換とする。

このとき、(★)は、urr+r−1+r−2θθ+uzz=0 と表せる。

証明

明らかである。(※P1)

参考 ( ダランベール解 )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★)

このとき、(★)の一般解は u(x、t)=φ(x+ct)+ψ(x−ct) である。

証明

省略する。

P3 ( 電磁波の伝播 )

z 軸を中心軸とする円筒状の導体を考える。

その半径は1であるとする。

導体中に電場 E(t)=Esinωt (ω>0) を発生させる。

いま、電磁場が同心円状に広がるとする。

r 軸を z 軸に対して垂直にとる。

E(r、t) を、r 軸の正の向きに伝播する電場とする。

E(1、t)=Esinωt を境界条件とする。

また、波動方程式 ΔE=c−2tt が成り立つとする。

このとき、



また、(1)を解くと、

補足

図示すると、

証明

いま、P2 より、



よって、



一方、





よって、



よって、



よって、



ここで、u(r、t)=r1/2E(r、t) とおく。

すると、



これは1次元波動方程式である。

つまり、ダランベール解 u(r、t)=φ(t−r/c)+ψ(t+r/c) をもつ。

ここで、第1項は前進波、第2項は後退波を意味する。

いま、E は r 方向に伝搬するとしている。

よって、第2項は 0 であるとしてよい。

よって、u(r、t)=φ(t−r/c) である。

つまり、E(r、t)=r−1/2φ(t−r/c) である。

また、E(1、t)=φ(t−1/c)≒φ(t) である。

よって、φ(t)≒Esinωt である。

よって、φ(t−r/c)≒Esinω(t−r/c) である。

よって、E(r、t)=E−1/2sinω(t−r/c) である。