ラプラス変換、ラプラス反転公式

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定義 ( ラプラス変換 )

f(t) を、t>0 で区分的に連続な関数とする。

次のように定義する。



このとき、f(t) から F(s) への変換を 『 ラプラス変換 』 という。

これを L[f(t)](s)=F(s) と表す。

定義 ( 指数 α 位の関数 )

f(t) を関数とする。

ある定数 M と α が存在して|f(t)|≦Meαt ( 0<t<∞ ) であるとする。

このとき、f を 『 指数 α 位の関数 』 という。

P1 ( ラプラス変換の存在定理〜その1 )

f(t) を、区分的に連続な関数とする。

f(t) は指数 α 位の関数であるとする。

このとき、Re(s)>α をみたす任意の s に対し、F(s)=L[f(t)] が存在する。

証明

いま、



つまり、L[f] は収束する。

P2 ( ラプラス変換の存在定理〜その2 )

ある s=s に対して F(s)=L[f(t)](s) が存在するとする。

このとき、Re(s)>Re(s) を満たす任意の s に対して L[f] が存在する。

補足

つまり、ある定数 α が存在して、次を満たす。

(*) ラプラス変換は Re(s)>α で収束するが、Re(s)<α では収束しない。

そこで、この α を 『 収束座標 』 という。

また、複素平面上の領域 Re(s)>α を 『 収束半平面 』 という。

証明

定理の仮定は F(s) が収束することを意味する。

よって、ある定数 M が存在して |F(s)|<M となる。(★)

一方、



よって、(★)より、



つまり、Re(s−s)>0 ならば F(s) は収束する。

P3 ( 基本計算 )

次が成り立つ。

補足

むろん、ここでは 1 は f(t)=1 ( t≧0 ) を意味する。

なぜなら、ラプラス変換の積分範囲は 0≦t<∞ だからである。

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

計算すると、

(3)の証明

計算すると、

(4)の証明

よく知られているように、Γ(n+1)=n! である。

よって、(3)より成り立つ。

参考 ( cosat・e−st、sinat・e−st の積分 )

次が成り立つ。

補足

この計算はすぐ下の定理の証明で用いる。

(1)と(2)の証明

いま、

(*1) (cosat・e−st)’=−asinat・e−st−scosat・e−st

(*2) (sinat・e−st)’=acosat・e−st−ssinat・e−st

両辺を積分すると、

(*3) cosat・e−st=−a∫sinat・e−stdt−s∫cosat・e−stdt

(*4) sinat・e−st=a∫cosat・e−stdt−s∫sinat・e−stdt

いま、(*3)×(−a)+(*4)×s を行うと、(1)を得る。

また、(*3)×(−a)+(*4)×(−s) を行うと、(2)を得る。

P4 ( 基本計算 )

次が成り立つ。

(1)の証明

明らかに、eαt は指数 α 位の関数である。

よって、s>α でラプラス変換可能である。

計算すると、

(2)の証明

いま、|cosat|≦1・e0t である。

つまり、cosat は指数 0 位の関数である。

よって、s>0 で L[cosat] が存在する。

よって、次のように計算できる。(※参考:cosαt・e−st、sinαt・e−st の積分)

(3)の証明

いま、|sinat|≦1・e0t である。

つまり、sinαt は指数 0 位の関数である。

よって、s>0 で L[sinαt] が存在する。

よって、次のように計算できる。(※参考:cosαt・e−st、sinαt・e−st の積分)

(4)の証明

いま、



つまり、coshαt は指数|α|位の関数である。

また、(1)より、

(5)の証明

いま、



つまり、sinhαt は指数|α|位の関数である。

また、(1)より、

定義 ( ディラックのデルタ関数 )

次の条件(1)と(2)を満たす関数 δ を定める。



このとき、δ(t)を 『 ディラックのデルタ関数 』 という。

むろん、これは通常の関数とは異なる。

つまり、上記の定義は形式的である。

ディラックのデルタ関数は、厳密には 『 超関数 』 という分野で定義される。

ただし、以下の議論ではここに書いた形式的な定義で十分である。

定義 ( ヘヴィサイドのステップ関数 )

次のように定義する。



このとき、H(t) を 『 ヘヴィサイドのステップ関数 』 という。

t=0 での値は定めなくてよいとする。

P5 ( 補題 )

次が成り立つ。

補足

ただし、(3)において f(t) は連続関数であるとする。

(1)〜(3)の証明

明らかである。

(4)の証明

いま、



よって、



ただし、M=maxa−ε≦t≦a+ε(f(t)−f(a)) である。

いま、M→0 ( ε→+0 ) である。(※ f は連続関数)

よって、

P6 ( デルタ関数のラプラス変換 )

次が成り立つ。

補足

(4)の結果は P3 と同じである。

これは H(t) の意味に注意すれば当然である。

(1)の証明

P5より、

(2)の証明

(1)より明らかである。

(3)の証明

明らかに、H(t−a) は指数 0 位の関数である。

よって、L[H(t−a)](s) は s≧0 で存在する。

また、

(4)の証明

(3)より明らかである。

P7

F(s)=L[f(t)](s) とおく。( むろん、f(t) はラプラス変換の存在条件を満たすとする )

このとき、次が成り立つ。

証明

計算すると、

P8 ( ラプラス変換〜拡大縮小と平行移動 )

F(s)=L[f(t)](s) とおく。( むろん、f(t) はラプラス変換の存在条件を満たすとする )

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

計算すると、

参考 ( 一様収束 ⇒ 積分は交換可能 )

f(x、y) は、(a、∞)×(c、d) で(2変数関数として)区分的に連続である。

次が y に関して一様収束するとする。



このとき、φ(y) は c<y<d で区分的に連続となる。

また、次が成り立つ。

証明

長くなるので省略する。

初級者向けの参考書では、この定理を暗黙に用いていることが多い。

なので、積分の順序交換がいつでも可能であると思い込んでいる入門者は多いかもしれない。

参考 ( 一様収束 ⇒ 微分と積分は交換可能 )

f(x、y) は (a、∞)×(c、d) で(2変数関数として)区分的に滑らかであるとする。

次が y に関して収束するとする。



次が y に関して一様収束するとする。



このとき、次が成り立つ。

証明

長くなるので省略する。

P9 ( ラプラス変換〜微分と積分 )

F(s)=L[f(t)](s)、G(s)=L[g(t)](s) とおく。( むろん、f と g はラプラス変換の存在条件を満たすとする )

とくに、f は指数α位の関数であるとする。

このとき、次が成り立つ。

補足

ただし、L[・] の中身がラプラス変換の存在条件を満たすと仮定する。

例えば、(1)において f’ は区分的に連続であればよい。

また、(2)において f(n) は区分的に連続であればよい。

また、(3)において∫f(τ)dτは自然にラプラス変換の存在条件を満たす。

これを確認するために、次のようにおいてみよう。



いま、|f(t)|≦Meαt としてよい。

よって、



つまり、g(t) も指数 α 位の関数である。

(1)の証明

計算すると、



ただし、上の計算では以下のことに注意する。

いま、f(t) は指数 α 位の関数である。

つまり、|f(b)|≦Meαb である。

よって、limb→∞|f(b)|e−sb≦limb→∞Me−(s−α)b=0 である。(※s>α)

(2)の証明

(1)より、



これを帰納的に繰り返せばよい。

(3)の証明

いま、g’(t)=f(t) である。

また、g(0)=0 である。

よって、(1)より、F(s)=L[f(t)]=L[g’(t)]=sG(s) である。

(4)の証明

Re(s)>α で、次の2つは s について一様収束する。



よって、次のように計算できる。(※参考:一様収束⇒微分と積分は交換可能)

(5)の証明

(4)を帰納的に繰り返せばよい。

(6)の証明

次は τ に関して一様収束する。



よって、次のように計算できる。(※参考:一様収束⇒積分の順序は交換可能)

(7)の証明

(6)を帰納的に繰り返せばよい。

定義 ( convolution )

f(t) と g(t) を、[0、∞) で定義された関数とする。

次のように定義する。



このとき、f*g を 『 f と g の convolution 』 という。

フーリエ変換の議論では次のように定義される。



しかし、今回はラプラス変換なので積分範囲が異なることに注意。

P10 ( convolution のラプラス変換 )

F(s)=L[f(t)](s)、G(s)=L[g(t)](s) とおく。( むろん、f と g はラプラス変換の存在条件を満たすとする )

このとき、次が成り立つ。

証明

計算すると、



D と E を図示すると、

P11

f(t) を、t≧0 で定義された周期 T の関数とする。

このとき、

証明

計算すると、

P12

L[f(t)]=L[g(t)] であるとする。( むろん、f と g はラプラス変換の存在条件を満たすとする )

このとき、不連続点を除けば、f(t)=g(t) である。

証明

明らかである。

定義 ( ラプラス逆変換 )

F(s) を関数とする。

ある関数 f(t) が存在して、F(s)=L[f(t)](s) となるとする。

既に確認したように、f(t) は不連続点を除けば一意に定まる。(※P12)

そこで、L−1[F(s)](t)=F(t) と表す。

これを 『 ラプラス逆変換 』 という。

例えば、次のように計算できる。

参考 ( リーマン・ルベーグの定理 )

f(x) を区分的に連続な関数とする。

f(x) は絶対可積分であるとする。

このとき、

証明

省略する。

P13 ( 逆変換の存在に対する判定法 )

f(t) を t≧0 で定義された関数とする。

f(t) を区分的に連続な関数とする。

f(t) は指数α位の関数であるとする。

F(s)=[f(t)](s) とおく。

このとき、

補足

つまり、F(s)が(1)と(2)を満たさない場合、F(s)は逆変換をもたない。

(1)の証明

まず、



つまり、



一方、



よって、

(1)の証明

s=a+ib とおく。

次のように計算できる。(※リーマン・ルベーグの定理)、

P14 ( 逆変換の線形性と拡大縮小 )

F(s)=L[f(t)](s)、G(s)=L[g(t)](s) とおく。( むろん、f と g はラプラス変換の存在条件を満たすとする )

次が成り立つ。

(1)の証明

明らかに、L[a(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)] である。

よって、成り立つ。

(2)の証明

いま、L[f(at)]=(1/a)F(s/a)である。(※P8)

ここで、b=1/a とおく。

いま、L[f(t/b)]=bF(bs) である。

よって、L−1[F(bs)]=(1/b)f(t/b)である。