ラプラス方程式〜球座標ver

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注意

次の記号を 『 ラプラス演算子 』 という。

むろん、次はいずれも同じ意味である。

P1 ( ラプラス方程式〜球座標ver )

直交座標系を次のように変数変換する。



このとき、

補足

つまり、ラプラス方程式 Δu=0 を球座標で表示すると、

補足

変数変換の様子を図示すると、

証明

いま、



また、



(*2)の両辺を x で偏微分すると、



よって、



(*3)の両辺を x で偏微分すると、



よって、



(*4)の両辺を x で偏微分すると、



よって、



(*5)〜(*7)を(*1)に代入すると、



同様に、





よって、



最後の計算は計算量が非常に多いが、地道に計算することで得られる。