ラプラス変換の応用〜周期関数、積分方程式、常微分方程式、偏微分方程式

サイトのTOP→理系インデックス





P1 ( 周期関数のラプラス変換 )

次の周期関数を考える。



このとき、

証明

計算すると、

参考 ( 代表的な積分方程式 )

f(t)、g(t、τ) を関数とする。

y(t) を未知関数とする。

次のような方程式を考える。



これは代表的な積分方程式である。

とくに、g(t、τ) が g(t−τ) の形であれば、右辺の積分は convolution を意味する。

その場合、ラプラス変換によって積分方程式を解くことができる。

P2 ( ラプラス変換による積分方程式の解法 )

次の積分方程式を考える。



これを解くと、

証明

いま、y(t)=1+y(t)*sint と表せる。

よって、



よtって、



よって、

P3 ( ラプラス変換による常分方程式の解法 )

次の微分方程式を考える。



これを解くと、

補足

例えば、次の電気回路を考える。



よく知られているように、その電流 I(t) は LI’(t)+RI(t)=E を満たす。

今回の問題は、L=1、R=1 の場合に相当する。

証明 ( ラプラス変換を用いる方法 )

いま、y’+y=E(1−H(t)) と表せる。( H(t)はヘヴィサイドのステップ関数である )

ラプラス変換すると、



よって、



一方、



よって、

証明 ( ラプラス変換を用いない方法 )

0≦t<1 で y’+y=E ( y(0)=0 ) である。

その解は、y(t)=E(1−e−t) である。

また、y(t)=E(1−e−1) である。

次に、これを初期条件として y’+y=0 を解く。

その解は、y(t)=E(e−1)e−t である。

以上により、